MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bcmax Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bcmax 25223
Description: The binomial coefficient takes its maximum value at the center. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bcmax ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))

Proof of Theorem bcmax
StepHypRef Expression
1 2nn0 11521 . . . 4 2 ∈ ℕ0
2 simpll 807 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3 nn0mulcl 11541 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
41, 2, 3sylancr 698 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
5 simpr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝐾))
6 nn0re 11513 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
76leidd 10806 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
8 nn0cn 11514 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
9 2cn 11303 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
10 2ne0 11325 . . . . . . 7 2 ≠ 0
11 divcan3 10923 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
129, 10, 11mp3an23 1565 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
147, 13breqtrrd 4832 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
152, 14syl 17 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
16 bcmono 25222 . . 3 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
174, 5, 15, 16syl3anc 1477 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝐾)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
18 simpll 807 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
191, 18, 3sylancr 698 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
20 simplr 809 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
21 bccmpl 13310 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2219, 20, 21syl2anc 696 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) = ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)))
2318nn0red 11564 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
2423recnd 10280 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
25242timesd 11487 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) = (𝑁 + 𝑁))
2620zred 11694 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
27 eluzle 11912 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝐾)
2827adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝐾)
2923, 26, 23, 28leadd2dd 10854 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 + 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3025, 29eqbrtrd 4826 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾))
3119nn0red 11564 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
3231, 26, 23lesubaddd 10836 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3330, 32mpbird 247 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁)
3419nn0zd 11692 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
3534, 20zsubcld 11699 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ)
3618nn0zd 11692 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
37 eluz 11913 . . . . . 6 ((((2 · 𝑁) − 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3835, 36, 37syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) − 𝐾) ≤ 𝑁))
3933, 38mpbird 247 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)))
4018, 14syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2))
41 bcmono 25222 . . . 4 (((2 · 𝑁) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘((2 · 𝑁) − 𝐾)) ∧ 𝑁 ≤ ((2 · 𝑁) / 2)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4219, 39, 40, 41syl3anc 1477 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C((2 · 𝑁) − 𝐾)) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
4322, 42eqbrtrd 4826 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
44 simpr 479 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
45 nn0z 11612 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4645adantr 472 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
47 uztric 11921 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4844, 46, 47syl2anc 696 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (ℤ𝐾) ∨ 𝐾 ∈ (ℤ𝑁)))
4917, 43, 48mpjaodan 862 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑁)C𝐾) ≤ ((2 · 𝑁)C𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   + caddc 10151   · cmul 10153  cle 10287  cmin 10478   / cdiv 10896  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  Ccbc 13303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-seq 13016  df-fac 13275  df-bc 13304
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator