Users' Mathboxes Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bccp1k Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccp1k 39061
Description: Generalized binomial coefficient: 𝐶 choose (𝐾 + 1). (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bccval.c (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
bccval.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bccp1k (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))

Proof of Theorem bccp1k
StepHypRef Expression
1 bccval.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
2 bccval.k . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℕ0)
3 fallfacp1 14981 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
41, 2, 3syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)))
5 facp1 13280 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
62, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (!‘(𝐾 + 1)) = ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1)))
74, 6oveq12d 6833 . . 3 (𝜑 → ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
8 peano2nn0 11546 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
92, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ0)
101, 9bccval 39058 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶 FallFac (𝐾 + 1)) / (!‘(𝐾 + 1))))
11 fallfaccl 14967 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
121, 2, 11syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 FallFac 𝐾) ∈ ℂ)
13 faccl 13285 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
142, 13syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1514nncnd 11249 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
162nn0cnd 11566 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
171, 16subcld 10605 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐾) ∈ ℂ)
189nn0cnd 11566 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℂ)
1914nnne0d 11278 . . . 4 (𝜑 → (!‘𝐾) ≠ 0)
20 nn0p1nn 11545 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
212, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11278 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≠ 0)
2312, 15, 17, 18, 19, 22divmuldivd 11055 . . 3 (𝜑 → (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) · (𝐶𝐾)) / ((!‘𝐾) · (𝐾 + 1))))
247, 10, 233eqtr4d 2805 . 2 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
251, 2bccval 39058 . . 3 (𝜑 → (𝐶C𝑐𝐾) = ((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)))
2625oveq1d 6830 . 2 (𝜑 → ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))) = (((𝐶 FallFac 𝐾) / (!‘𝐾)) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
2724, 26eqtr4d 2798 1 (𝜑 → (𝐶C𝑐(𝐾 + 1)) = ((𝐶C𝑐𝐾) · ((𝐶𝐾) / (𝐾 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  cfv 6050  (class class class)co 6815  cc 10147  1c1 10150   + caddc 10152   · cmul 10154  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  0cn0 11505  !cfa 13275   FallFac cfallfac 14955  C𝑐cbcc 39056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-se 5227  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-isom 6059  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-oi 8583  df-card 8976  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-nn 11234  df-2 11292  df-3 11293  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-seq 13017  df-exp 13076  df-fac 13276  df-hash 13333  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sqrt 14195  df-abs 14196  df-clim 14439  df-prod 14856  df-fallfac 14958  df-bcc 39057
This theorem is referenced by:  bccm1k  39062  bccn1  39064  binomcxplemfrat  39071  binomcxplemnotnn0  39076
  Copyright terms: Public domain W3C validator