MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bccmpl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bccmpl 13136
Description: "Complementing" its second argument doesn't change a binary coefficient. (Contributed by NM, 21-Jun-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 5-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bccmpl ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))

Proof of Theorem bccmpl
StepHypRef Expression
1 bcval2 13132 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
2 fznn0sub2 12485 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
3 bcval2 13132 . . . . . 6 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
5 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝐾) ∈ ℕ0)
6 faccl 13110 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁𝐾) ∈ ℕ0 → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
75, 6syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℕ)
87nncnd 11074 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
92, 8syl 17 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝐾)) ∈ ℂ)
10 elfznn0 12471 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
11 faccl 13110 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ0 → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℕ)
1312nncnd 11074 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝐾) ∈ ℂ)
149, 13mulcomd 10099 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
15 elfz3nn0 12472 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
17 nn0cn 11340 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 zcn 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
19 nncan 10348 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
2017, 18, 19syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
2115, 16, 20syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) = 𝐾)
2221fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) = (!‘𝐾))
2322oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))) = ((!‘𝐾) · (!‘(𝑁𝐾))))
2414, 23eqtr4d 2688 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾)) = ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾))))
2524oveq2d 6706 . . . . 5 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − (𝑁𝐾))) · (!‘(𝑁𝐾)))))
264, 25eqtr4d 2688 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝐾)) · (!‘𝐾))))
271, 26eqtr4d 2688 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
2827adantl 481 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
29 bcval3 13133 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = 0)
30 simp1 1081 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31 nn0z 11438 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
32 zsubcl 11457 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
3331, 32sylan 487 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
34333adant3 1101 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁𝐾) ∈ ℤ)
35 fznn0sub2 12485 . . . . . . . 8 ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁))
3620eleq1d 2715 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁 − (𝑁𝐾)) ∈ (0...𝑁) ↔ 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3735, 36syl5ib 234 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ (0...𝑁)))
3837con3d 148 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)))
39383impia 1280 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁))
40 bcval3 13133 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝐾) ∈ ℤ ∧ ¬ (𝑁𝐾) ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
4130, 34, 39, 40syl3anc 1366 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C(𝑁𝐾)) = 0)
4229, 41eqtr4d 2688 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
43423expa 1284 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
4428, 43pm2.61dan 849 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) = (𝑁C(𝑁𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  !cfa 13100  Ccbc 13129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-fac 13101  df-bc 13130
This theorem is referenced by:  bcnn  13139  bcnp1n  13141  bcp1m1  13147  bcnm1  13154  basellem3  24854  chtublem  24981  bcmax  25048  bcp1ctr  25049
  Copyright terms: Public domain W3C validator