MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bastg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bastg 20992
Description: A member of a basis is a subset of the topology it generates. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
bastg (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))

Proof of Theorem bastg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 479 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
2 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
32pwid 4318 . . . . . . 7 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥
43a1i 11 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑥)
51, 4elind 3941 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
6 elssuni 4619 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥))
87ex 449 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
9 eltg 20983 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)))
108, 9sylibrd 249 . 2 (𝐵𝑉 → (𝑥𝐵𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
1110ssrdv 3750 1 (𝐵𝑉𝐵 ⊆ (topGen‘𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139  cin 3714  wss 3715  𝒫 cpw 4302   cuni 4588  cfv 6049  topGenctg 16320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fv 6057  df-topgen 16326
This theorem is referenced by:  unitg  20993  tgclb  20996  tgtop  20999  tgidm  21006  tgss3  21012  bastop2  21020  elcls3  21109  ordtopn1  21220  ordtopn2  21221  leordtval2  21238  iocpnfordt  21241  icomnfordt  21242  iooordt  21243  tgcn  21278  tgcnp  21279  tgcmp  21426  2ndcsb  21474  2ndc1stc  21476  2ndcctbss  21480  2ndcomap  21483  ptopn  21608  xkoopn  21614  txopn  21627  txbasval  21631  ptpjcn  21636  flftg  22021  alexsubb  22071  blssopn  22521  iooretop  22790  bndth  22978  ovolicc2  23510  cncombf  23644  cnmbf  23645  ordtconnlem1  30300  elmbfmvol2  30659  dya2icoseg2  30670  iccllysconn  31560  rellysconn  31561  topjoin  32687  fnemeet2  32689  fnejoin1  32690  ontgval  32757  mblfinlem3  33779  mblfinlem4  33780  ismblfin  33781  cnambfre  33789  kelac2  38155
  Copyright terms: Public domain W3C validator