Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basgen2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basgen2 21014
 Description: Given a topology 𝐽, show that a subset 𝐵 satisfying the third antecedent is a basis for it. Lemma 2.3 of [Munkres] p. 81. (Contributed by NM, 20-Jul-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
basgen2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑥,𝐽,𝑦,𝑧

Proof of Theorem basgen2
StepHypRef Expression
1 dfss3 3741 . . . 4 (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
2 ssexg 4938 . . . . . . 7 ((𝐵𝐽𝐽 ∈ Top) → 𝐵 ∈ V)
32ancoms 455 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → 𝐵 ∈ V)
4 eltg2b 20984 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
53, 4syl 17 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → (𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
65ralbidv 3135 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → (∀𝑥𝐽 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
71, 6syl5bb 272 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽) → (𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵) ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)))
87biimp3ar 1581 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → 𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵))
9 basgen 21013 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽𝐽 ⊆ (topGen‘𝐵)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
108, 9syld3an3 1515 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐵𝐽 ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝑥𝑧𝐵 (𝑦𝑧𝑧𝑥)) → (topGen‘𝐵) = 𝐽)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  Vcvv 3351   ⊆ wss 3723  ‘cfv 6031  topGenctg 16306  Topctop 20918 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-topgen 16312  df-top 20919 This theorem is referenced by:  pptbas  21033  2ndcctbss  21479  2ndcomap  21482  dis2ndc  21484  met2ndci  22547
 Copyright terms: Public domain W3C validator