MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem9 24935
Description: Lemma for basel 24936. Since by basellem8 24934 𝐹 is bounded by two expressions that tend to π↑2 / 6, 𝐹 must also go to π↑2 / 6 by the squeeze theorem climsqz 14491. But the series 𝐹 is exactly the partial sums of 𝑘↑-2, so it follows that this is also the value of the infinite sum Σ𝑘 ∈ ℕ(𝑘↑-2). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basel.f 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
basel.h 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
basel.j 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
basel.k 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
Assertion
Ref Expression
basellem9 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑘,𝐽,𝑛   𝑘,𝐾
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑛)

Proof of Theorem basellem9
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11837 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11521 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 oveq1 6772 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛↑-2) = (𝑘↑-2))
4 eqid 2724 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))
5 ovex 6793 . . . . 5 (𝑘↑-2) ∈ V
63, 4, 5fvmpt 6396 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
76adantl 473 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) = (𝑘↑-2))
8 nnre 11140 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
9 nnne0 11166 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ≠ 0)
10 2z 11522 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
11 znegcl 11525 . . . . . . . . . . 11 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 -2 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ → -2 ∈ ℤ)
148, 9, 13reexpclzd 13149 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1514adantl 473 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛↑-2) ∈ ℝ)
1615, 4fmptd 6500 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)):ℕ⟶ℝ)
1716ffvelrnda 6474 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))‘𝑘) ∈ ℝ)
187, 17eqeltrrd 2804 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℝ)
1918recnd 10181 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘↑-2) ∈ ℂ)
201, 2, 17serfre 12945 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
21 basel.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2)))
2221feq1i 6149 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:ℕ⟶ℝ ↔ seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))):ℕ⟶ℝ)
2320, 22sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐹:ℕ⟶ℝ)
2423ffvelrnda 6474 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℝ)
2524recnd 10181 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹𝑛) ∈ ℂ)
26 remulcl 10134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
28 ovex 6793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π↑2) / 6) ∈ V
2928fconst 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)}
30 pire 24330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 π ∈ ℝ
3130resqcli 13064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π↑2) ∈ ℝ
32 6re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ∈ ℝ
33 6nn 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 6 ∈ ℕ
3433nnne0i 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 ≠ 0
3531, 32, 34redivcli 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π↑2) / 6) ∈ ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → ((π↑2) / 6) ∈ ℝ)
3736snssd 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ)
38 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶{((π↑2) / 6)} ∧ {((π↑2) / 6)} ⊆ ℝ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
3929, 37, 38sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ)
40 resubcl 10458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
4140adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
42 1ex 10148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
4342fconst 6204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
44 1red 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (⊤ → 1 ∈ ℝ)
4544snssd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → {1} ⊆ ℝ)
46 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℝ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
4743, 45, 46sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ)
48 2nn 11298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℕ
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
50 nnmulcl 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5149, 50sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
5251peano2nnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
5352nnrecred 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
54 basel.g . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
5553, 54fmptd 6500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
56 nnex 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ ∈ V
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → ℕ ∈ V)
58 inidm 3930 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
5941, 47, 55, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺):ℕ⟶ℝ)
6027, 39, 59, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
61 basel.h . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
6261feq1i 6149 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻:ℕ⟶ℝ ↔ ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)):ℕ⟶ℝ)
6360, 62sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐻:ℕ⟶ℝ)
64 readdcl 10132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
6564adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
66 negex 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -2 ∈ V
6766fconst 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2}
6812zrei 11496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -2 ∈ ℝ
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℝ)
7069snssd 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {-2} ⊆ ℝ)
71 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {-2}):ℕ⟶{-2} ∧ {-2} ⊆ ℝ) → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7267, 70, 71sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {-2}):ℕ⟶ℝ)
7327, 72, 55, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
7465, 47, 73, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
7527, 63, 74, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
76 basel.j . . . . . . . . . . . 12 𝐽 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))
7776feq1i 6149 . . . . . . . . . . 11 (𝐽:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
7875, 77sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐽:ℕ⟶ℝ)
7978ffvelrnda 6474 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℝ)
8079recnd 10181 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐽𝑛) ∈ ℂ)
8125, 80npcand 10509 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛)) = (𝐹𝑛))
8281mpteq2dva 4852 . . . . . 6 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
83 ovexd 6795 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) ∈ V)
8423feqmptd 6363 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐹𝑛)))
8578feqmptd 6363 . . . . . . . 8 (⊤ → 𝐽 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝐽𝑛)))
8657, 24, 79, 84, 85offval2 7031 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛))))
8757, 83, 79, 86, 85offval2 7031 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝐹𝑛) − (𝐽𝑛)) + (𝐽𝑛))))
8882, 87, 843eqtr4d 2768 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) = 𝐹)
8965, 47, 55, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺):ℕ⟶ℝ)
90 recn 10139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
91 recn 10139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
92 recn 10139 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → 𝑧 ∈ ℂ)
93 subdi 10576 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9490, 91, 92, 93syl3an 1481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9594adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (𝑥 · (𝑦𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) − (𝑥 · 𝑧)))
9657, 63, 89, 74, 95caofdi 7050 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))))
97 basel.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺))
9897, 76oveq12i 6777 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑓𝐽) = ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)) ∘𝑓 − (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))
9996, 98syl6eqr 2776 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) = (𝐾𝑓𝐽))
10035recni 10165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π↑2) / 6) ∈ ℂ
1011eqimss2i 3766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
102101, 56climconst2 14399 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π↑2) / 6) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
103100, 2, 102sylancr 698 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) ⇝ ((π↑2) / 6))
104 ovexd 6795 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ∈ V)
105 ax-resscn 10106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
106 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℕ × {1}):ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
10747, 105, 106sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
108 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ℕ⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
10955, 105, 108sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
110 ofnegsub 11131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ ∈ V ∧ (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ ∧ 𝐺:ℕ⟶ℂ) → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
11157, 107, 109, 110syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) = ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))
112 neg1cn 11237 . . . . . . . . . . . . . . 15 -1 ∈ ℂ
11354, 112basellem7 24933 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
114111, 113syl6eqbrr 4800 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) ⇝ 1)
11539ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℝ)
116115recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) ∈ ℂ)
11759ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
118117recnd 10181 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
119 ffn 6158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℕ × {((π↑2) / 6)}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
12039, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {((π↑2) / 6)}) Fn ℕ)
121 fnconstg 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
1222, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
123 ffn 6158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺:ℕ⟶ℝ → 𝐺 Fn ℕ)
12455, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
125122, 124, 57, 57, 58offn 7025 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺) Fn ℕ)
126 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) = ((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘))
127 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘))
128120, 125, 57, 57, 58, 126, 127ofval 7023 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {((π↑2) / 6)})‘𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)‘𝑘)))
1291, 2, 103, 104, 114, 116, 118, 128climmul 14483 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
130100mulid1i 10155 . . . . . . . . . . . 12 (((π↑2) / 6) · 1) = ((π↑2) / 6)
131129, 130syl6breq 4801 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {((π↑2) / 6)}) ∘𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓𝐺)) ⇝ ((π↑2) / 6))
13261, 131syl5eqbr 4795 . . . . . . . . . 10 (⊤ → 𝐻 ⇝ ((π↑2) / 6))
133 ovexd 6795 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ∈ V)
134 3cn 11208 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
135101, 56climconst2 14399 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
136134, 2, 135sylancr 698 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℕ × {3}) ⇝ 3)
137 ovexd 6795 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13854basellem6 24932 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 ⇝ 0
139138a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
140 3ex 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
141140fconst 6204 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℕ × {3}):ℕ⟶{3}
142 3re 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
143142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → 3 ∈ ℝ)
144143snssd 4448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → {3} ⊆ ℝ)
145 fss 6169 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((ℕ × {3}):ℕ⟶{3} ∧ {3} ⊆ ℝ) → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
146141, 144, 145sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → (ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ)
147146ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℝ)
148147recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) ∈ ℂ)
14955ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
150149recnd 10181 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
151 ffn 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℕ × {3}):ℕ⟶ℝ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℕ × {3}) Fn ℕ)
153 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {3})‘𝑘) = ((ℕ × {3})‘𝑘))
154 eqidd 2725 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
155152, 124, 57, 57, 58, 153, 154ofval 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {3})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
1561, 2, 136, 137, 139, 148, 150, 155climmul 14483 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (3 · 0))
157134mul01i 10339 . . . . . . . . . . 11 (3 · 0) = 0
158156, 157syl6breq 4801 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
15963ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℝ)
160159recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) ∈ ℂ)
16127, 146, 55, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → ((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℝ)
162161ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℝ)
163162recnd 10181 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
164 ffn 6158 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻:ℕ⟶ℝ → 𝐻 Fn ℕ)
16563, 164syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝐻 Fn ℕ)
16641, 89, 74, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ)
167 ffn 6158 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))):ℕ⟶ℝ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) Fn ℕ)
169 eqidd 2725 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐻𝑘) = (𝐻𝑘))
170150mulid2d 10171 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 · (𝐺𝑘)) = (𝐺𝑘))
171 2cn 11204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
172 mulneg1 10579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
173171, 150, 172sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) = -(2 · (𝐺𝑘)))
174173negeqd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → -(-2 · (𝐺𝑘)) = --(2 · (𝐺𝑘)))
175 mulcl 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℂ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
176171, 150, 175sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
177176negnegd 10496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → --(2 · (𝐺𝑘)) = (2 · (𝐺𝑘)))
178174, 177eqtr2d 2759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · (𝐺𝑘)) = -(-2 · (𝐺𝑘)))
179170, 178oveq12d 6783 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))))
180 remulcl 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-2 ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
18168, 149, 180sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
182181recnd 10181 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (-2 · (𝐺𝑘)) ∈ ℂ)
183150, 182negsubd 10511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐺𝑘) + -(-2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
184179, 183eqtrd 2758 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
185 df-3 11193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
186 ax-1cn 10107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
187171, 186addcomi 10340 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 + 1) = (1 + 2)
188185, 187eqtri 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (1 + 2)
189188oveq1i 6775 . . . . . . . . . . . . . 14 (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 + 2) · (𝐺𝑘))
190 1cnd 10169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
191171a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
192190, 191, 150adddird 10178 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + 2) · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
193189, 192syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (3 · (𝐺𝑘)) = ((1 · (𝐺𝑘)) + (2 · (𝐺𝑘))))
194190, 150, 182pnpcand 10542 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = ((𝐺𝑘) − (-2 · (𝐺𝑘))))
195184, 193, 1943eqtr4rd 2769 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))) = (3 · (𝐺𝑘)))
196122, 124, 57, 57, 58offn 7025 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) Fn ℕ)
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (⊤ → -2 ∈ ℤ)
198 fnconstg 6206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (-2 ∈ ℤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
199197, 198syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (⊤ → (ℕ × {-2}) Fn ℕ)
200199, 124, 57, 57, 58offn 7025 . . . . . . . . . . . . . 14 (⊤ → ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
201122, 200, 57, 57, 58offn 7025 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) Fn ℕ)
20257, 44, 124, 154ofc1 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)‘𝑘) = (1 + (𝐺𝑘)))
20357, 69, 124, 154ofc1 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (-2 · (𝐺𝑘)))
20457, 44, 200, 203ofc1 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (1 + (-2 · (𝐺𝑘))))
205196, 201, 57, 57, 58, 202, 204ofval 7023 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((1 + (𝐺𝑘)) − (1 + (-2 · (𝐺𝑘)))))
20657, 143, 124, 154ofc1 7037 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (3 · (𝐺𝑘)))
207195, 205, 2063eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
208165, 168, 57, 57, 58, 169, 207ofval 7023 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {3}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
2091, 2, 132, 133, 158, 160, 163, 208climmul 14483 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 0))
210100mul01i 10339 . . . . . . . . 9 (((π↑2) / 6) · 0) = 0
211209, 210syl6breq 4801 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺) ∘𝑓 − ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))) ⇝ 0)
21299, 211eqbrtrrd 4784 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽) ⇝ 0)
213 ovexd 6795 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ∈ V)
21427, 63, 89, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
21597feq1i 6149 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ ↔ (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + 𝐺)):ℕ⟶ℝ)
216214, 215sylibr 224 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾:ℕ⟶ℝ)
21741, 216, 78, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐾𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
218217ffvelrnda 6474 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
21941, 23, 78, 57, 57, 58off 7029 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ)
220219ffvelrnda 6474 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℝ)
22123ffvelrnda 6474 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
222216ffvelrnda 6474 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) ∈ ℝ)
22378ffvelrnda 6474 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℝ)
224 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1)
22554, 21, 61, 76, 97, 224basellem8 24934 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
226225adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘) ∧ (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘)))
227226simprd 482 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ≤ (𝐾𝑘))
228221, 222, 223, 227lesub1dd 10756 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ≤ ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
229 ffn 6158 . . . . . . . . . 10 (𝐹:ℕ⟶ℝ → 𝐹 Fn ℕ)
23023, 229syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐹 Fn ℕ)
231 ffn 6158 . . . . . . . . . 10 (𝐽:ℕ⟶ℝ → 𝐽 Fn ℕ)
23278, 231syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐽 Fn ℕ)
233 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
234 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) = (𝐽𝑘))
235230, 232, 57, 57, 58, 233, 234ofval 7023 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
236 ffn 6158 . . . . . . . . . 10 (𝐾:ℕ⟶ℝ → 𝐾 Fn ℕ)
237216, 236syl 17 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐾 Fn ℕ)
238 eqidd 2725 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐾𝑘) = (𝐾𝑘))
239237, 232, 57, 57, 58, 238, 234ofval 7023 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐾𝑘) − (𝐽𝑘)))
240228, 235, 2393brtr4d 4792 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ≤ ((𝐾𝑓𝐽)‘𝑘))
241226simpld 477 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘))
242221, 223subge0d 10730 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)) ↔ (𝐽𝑘) ≤ (𝐹𝑘)))
243241, 242mpbird 247 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘) − (𝐽𝑘)))
244243, 235breqtrrd 4788 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
2451, 2, 212, 213, 218, 220, 240, 244climsqz2 14492 . . . . . 6 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) ⇝ 0)
246 ovexd 6795 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ∈ V)
247 ovexd 6795 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ∈ V)
24868recni 10165 . . . . . . . . . . 11 -2 ∈ ℂ
24954, 248basellem7 24933 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
250249a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1)
25174ffvelrnda 6474 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℝ)
252251recnd 10181 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) ∈ ℂ)
253 eqidd 2725 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘))
254165, 201, 57, 57, 58, 169, 253ofval 7023 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺)))‘𝑘) = ((𝐻𝑘) · (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘)))
2551, 2, 132, 247, 250, 160, 252, 254climmul 14483 . . . . . . . 8 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ (((π↑2) / 6) · 1))
256255, 130syl6breq 4801 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐻𝑓 · ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {-2}) ∘𝑓 · 𝐺))) ⇝ ((π↑2) / 6))
25776, 256syl5eqbr 4795 . . . . . 6 (⊤ → 𝐽 ⇝ ((π↑2) / 6))
258220recnd 10181 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) ∈ ℂ)
259223recnd 10181 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐽𝑘) ∈ ℂ)
260 ffn 6158 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑓𝐽):ℕ⟶ℝ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
261219, 260syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → (𝐹𝑓𝐽) Fn ℕ)
262 eqidd 2725 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) = ((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘))
263261, 232, 57, 57, 58, 262, 234ofval 7023 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽)‘𝑘) = (((𝐹𝑓𝐽)‘𝑘) + (𝐽𝑘)))
2641, 2, 245, 246, 257, 258, 259, 263climadd 14482 . . . . 5 (⊤ → ((𝐹𝑓𝐽) ∘𝑓 + 𝐽) ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
26588, 264eqbrtrrd 4784 . . . 4 (⊤ → 𝐹 ⇝ (0 + ((π↑2) / 6)))
266100addid2i 10337 . . . 4 (0 + ((π↑2) / 6)) = ((π↑2) / 6)
267265, 21, 2663brtr3g 4793 . . 3 (⊤ → seq1( + , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑛↑-2))) ⇝ ((π↑2) / 6))
2681, 2, 7, 19, 267isumclim 14608 . 2 (⊤ → Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6))
269268trud 1606 1 Σ𝑘 ∈ ℕ (𝑘↑-2) = ((π↑2) / 6)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wtru 1597  wcel 2103  Vcvv 3304  wss 3680  {csn 4285   class class class wbr 4760  cmpt 4837   × cxp 5216   Fn wfn 5996  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  𝑓 cof 7012  cc 10047  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054  cle 10188  cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  6c6 11187  cz 11490  cuz 11800  seqcseq 12916  cexp 12975  cli 14335  Σcsu 14536  πcpi 14917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ioc 12294  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-mod 12784  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-tan 14922  df-pi 14923  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-lp 21063  df-perf 21064  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cncf 22803  df-0p 23557  df-limc 23750  df-dv 23751  df-ply 24064  df-idp 24065  df-coe 24066  df-dgr 24067  df-quot 24166
This theorem is referenced by:  basel  24936
  Copyright terms: Public domain W3C validator