Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem7 25012
 Description: Lemma for basel 25015. The function 1 + 𝐴 · 𝐺 for any fixed 𝐴 goes to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
basellem7.2 𝐴 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
basellem7 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1

Proof of Theorem basellem7
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11916 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11600 . . . 4 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 10186 . . . . 5 1 ∈ ℂ
41eqimss2i 3801 . . . . . 6 (ℤ‘1) ⊆ ℕ
5 nnex 11218 . . . . . 6 ℕ ∈ V
64, 5climconst2 14478 . . . . 5 ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
73, 2, 6sylancr 698 . . . 4 (⊤ → (ℕ × {1}) ⇝ 1)
8 ovexd 6843 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ∈ V)
9 basellem7.2 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
104, 5climconst2 14478 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
119, 2, 10sylancr 698 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) ⇝ 𝐴)
12 ovexd 6843 . . . . . 6 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ∈ V)
13 basel.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
1413basellem6 25011 . . . . . . 7 𝐺 ⇝ 0
1514a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
169elexi 3353 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ V
1716fconst 6252 . . . . . . . 8 (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴}
189a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → 𝐴 ∈ ℂ)
1918snssd 4485 . . . . . . . 8 (⊤ → {𝐴} ⊆ ℂ)
20 fss 6217 . . . . . . . 8 (((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶{𝐴} ∧ {𝐴} ⊆ ℂ) → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2117, 19, 20sylancr 698 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) ∈ ℂ)
23 2nn 11377 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
25 nnmulcl 11235 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2624, 25sylan 489 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2726peano2nnd 11229 . . . . . . . . . 10 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2827nnrecred 11258 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
2928recnd 10260 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℂ)
3029, 13fmptd 6548 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
3130ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
32 ffn 6206 . . . . . . . 8 ((ℕ × {𝐴}):ℕ⟶ℂ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
3321, 32syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → (ℕ × {𝐴}) Fn ℕ)
34 ffn 6206 . . . . . . . 8 (𝐺:ℕ⟶ℂ → 𝐺 Fn ℕ)
3530, 34syl 17 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐺 Fn ℕ)
365a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℕ ∈ V)
37 inidm 3965 . . . . . . 7 (ℕ ∩ ℕ) = ℕ
38 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {𝐴})‘𝑘) = ((ℕ × {𝐴})‘𝑘))
39 eqidd 2761 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (𝐺𝑘))
4033, 35, 36, 36, 37, 38, 39ofval 7071 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴})‘𝑘) · (𝐺𝑘)))
411, 2, 11, 12, 15, 22, 31, 40climmul 14562 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ (𝐴 · 0))
429mul01i 10418 . . . . 5 (𝐴 · 0) = 0
4341, 42syl6breq 4845 . . . 4 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) ⇝ 0)
44 1ex 10227 . . . . . . 7 1 ∈ V
4544fconst 6252 . . . . . 6 (ℕ × {1}):ℕ⟶{1}
463a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 1 ∈ ℂ)
4746snssd 4485 . . . . . 6 (⊤ → {1} ⊆ ℂ)
48 fss 6217 . . . . . 6 (((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} ∧ {1} ⊆ ℂ) → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
4945, 47, 48sylancr 698 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶ℂ)
5049ffvelrnda 6522 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) ∈ ℂ)
51 mulcl 10212 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5251adantl 473 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
5352, 21, 30, 36, 36, 37off 7077 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6522 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) ∈ ℂ)
5545a1i 11 . . . . . 6 (⊤ → (ℕ × {1}):ℕ⟶{1})
56 ffn 6206 . . . . . 6 ((ℕ × {1}):ℕ⟶{1} → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
5755, 56syl 17 . . . . 5 (⊤ → (ℕ × {1}) Fn ℕ)
58 ffn 6206 . . . . . 6 (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺):ℕ⟶ℂ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
5953, 58syl 17 . . . . 5 (⊤ → ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺) Fn ℕ)
60 eqidd 2761 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {1})‘𝑘) = ((ℕ × {1})‘𝑘))
61 eqidd 2761 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘) = (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘))
6257, 59, 36, 36, 37, 60, 61ofval 7071 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑘) = (((ℕ × {1})‘𝑘) + (((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)‘𝑘)))
631, 2, 7, 8, 43, 50, 54, 62climadd 14561 . . 3 (⊤ → ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0))
6463trud 1642 . 2 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ (1 + 0)
65 1p0e1 11325 . 2 (1 + 0) = 1
6664, 65breqtri 4829 1 ((ℕ × {1}) ∘𝑓 + ((ℕ × {𝐴}) ∘𝑓 · 𝐺)) ⇝ 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∧ wa 383   = wceq 1632  ⊤wtru 1633   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   × cxp 5264   Fn wfn 6044  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813   ∘𝑓 cof 7060  ℂcc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   / cdiv 10876  ℕcn 11212  2c2 11262  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879   ⇝ cli 14414 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419 This theorem is referenced by:  basellem9  25014
 Copyright terms: Public domain W3C validator