MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem6 24857
Description: Lemma for basel 24861. The function 𝐺 goes to zero because it is bounded by 1 / 𝑛. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
Assertion
Ref Expression
basellem6 𝐺 ⇝ 0

Proof of Theorem basellem6
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11761 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 11446 . . 3 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
3 ax-1cn 10032 . . . 4 1 ∈ ℂ
4 divcnv 14629 . . . 4 (1 ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
53, 4mp1i 13 . . 3 (⊤ → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) ⇝ 0)
6 basel.g . . . . 5 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1)))
7 nnex 11064 . . . . . 6 ℕ ∈ V
87mptex 6527 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / ((2 · 𝑛) + 1))) ∈ V
96, 8eqeltri 2726 . . . 4 𝐺 ∈ V
109a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐺 ∈ V)
11 oveq2 6698 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑘))
12 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))
13 ovex 6718 . . . . . 6 (1 / 𝑘) ∈ V
1411, 12, 13fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
1514adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) = (1 / 𝑘))
16 nnrecre 11095 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / 𝑘) ∈ ℝ)
1815, 17eqeltrd 2730 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘) ∈ ℝ)
19 oveq2 6698 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑘))
2019oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · 𝑘) + 1))
2120oveq2d 6706 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (1 / ((2 · 𝑛) + 1)) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
22 ovex 6718 . . . . . 6 (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ V
2321, 6, 22fvmpt 6321 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
2423adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
25 2nn 11223 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
2625a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℕ)
27 nnmulcl 11081 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2826, 27sylan 487 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℕ)
2928peano2nnd 11075 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℕ)
3029nnrecred 11104 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ)
3124, 30eqeltrd 2730 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
32 nnre 11065 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℝ)
3332adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℝ)
3428nnred 11073 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
3529nnred 11073 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ)
36 nnnn0 11337 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℕ0)
3736adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℕ0)
38 nn0addge1 11377 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
3933, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 𝑘))
4033recnd 10106 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ∈ ℂ)
41402timesd 11313 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
4239, 41breqtrrd 4713 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ (2 · 𝑘))
4334lep1d 10993 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (2 · 𝑘) ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
4433, 34, 35, 42, 43letrd 10232 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1))
45 nngt0 11087 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → 0 < 𝑘)
4645adantl 481 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < 𝑘)
4729nngt0d 11102 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 < ((2 · 𝑘) + 1))
48 lerec 10944 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑘) ∧ (((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < ((2 · 𝑘) + 1))) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
4933, 46, 35, 47, 48syl22anc 1367 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) + 1) ↔ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘)))
5044, 49mpbid 222 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ≤ (1 / 𝑘))
5150, 24, 153brtr4d 4717 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) ≤ ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (1 / 𝑛))‘𝑘))
5229nnrpd 11908 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((2 · 𝑘) + 1) ∈ ℝ+)
5352rpreccld 11920 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (1 / ((2 · 𝑘) + 1)) ∈ ℝ+)
5453rpge0d 11914 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (1 / ((2 · 𝑘) + 1)))
5554, 24breqtrrd 4713 . . 3 ((⊤ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐺𝑘))
561, 2, 5, 10, 18, 31, 51, 55climsqz2 14416 . 2 (⊤ → 𝐺 ⇝ 0)
5756trud 1533 1 𝐺 ⇝ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wtru 1524  wcel 2030  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264
This theorem is referenced by:  basellem7  24858  basellem9  24860
  Copyright terms: Public domain W3C validator