MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem5 24745
Description: Lemma for basel 24750. Using vieta1 24005, we can calculate the sum of the roots of 𝑃 as the quotient of the top two coefficients, and since the function 𝑇 enumerates the roots, we are left with an equation that sums the cot↑2 function at the 𝑀 different roots. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem5 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑡,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘,𝑛,𝑡   𝑃,𝑘,𝑛   𝑇,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem5
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (coeff‘𝑃) = (coeff‘𝑃)
2 eqid 2621 . . 3 (deg‘𝑃) = (deg‘𝑃)
3 eqid 2621 . . 3 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
4 basel.n . . . . 5 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
5 basel.p . . . . 5 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
64, 5basellem2 24742 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
76simp1d 1071 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
86simp2d 1072 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
9 nnnn0 11259 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
10 hashfz1 13090 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ0 → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑀)) = 𝑀)
12 basel.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
134, 5, 12basellem4 24744 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
14 ovex 6643 . . . . . . 7 (1...𝑀) ∈ V
1514f1oen 7936 . . . . . 6 (𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
1613, 15syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
17 fzfid 12728 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
18 nnne0 11013 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
198, 18eqnetrd 2857 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
20 fveq2 6158 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
21 dgr0 23956 . . . . . . . . . . 11 (deg‘0𝑝) = 0
2220, 21syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
2322necon3i 2822 . . . . . . . . 9 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
2419, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
253fta1 24001 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
267, 24, 25syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (#‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
2726simpld 475 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
28 hashen 13091 . . . . . 6 (((1...𝑀) ∈ Fin ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → ((#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
2917, 27, 28syl2anc 692 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})) ↔ (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0})))
3016, 29mpbird 247 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(1...𝑀)) = (#‘(𝑃 “ {0})))
318, 11, 303eqtr2rd 2662 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (#‘(𝑃 “ {0})) = (deg‘𝑃))
32 id 22 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ)
338, 32eqeltrd 2698 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ∈ ℕ)
341, 2, 3, 7, 31, 33vieta1 24005 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
35 id 22 . . 3 (𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) → 𝑥 = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
36 oveq1 6622 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
3736oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 · π) / 𝑁) = ((𝑘 · π) / 𝑁))
3837fveq2d 6162 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
3938oveq1d 6630 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
40 ovex 6643 . . . . 5 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
4139, 12, 40fvmpt 6249 . . . 4 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
4241adantl 482 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
43 cnvimass 5454 . . . . 5 (𝑃 “ {0}) ⊆ dom 𝑃
44 plyf 23892 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
45 fdm 6018 . . . . . 6 (𝑃:ℂ⟶ℂ → dom 𝑃 = ℂ)
467, 44, 453syl 18 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → dom 𝑃 = ℂ)
4743, 46syl5sseq 3638 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ⊆ ℂ)
4847sselda 3588 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})) → 𝑥 ∈ ℂ)
4935, 17, 13, 42, 48fsumf1o 14403 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑥 ∈ (𝑃 “ {0})𝑥 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
506simp3d 1073 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
518oveq1d 6630 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((deg‘𝑃) − 1) = (𝑀 − 1))
5250, 51fveq12d 6164 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)))
53 nnm1nn0 11294 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℕ0)
54 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (2 · 𝑛) = (2 · (𝑀 − 1)))
5554oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
56 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (𝑀𝑛) = (𝑀 − (𝑀 − 1)))
5756oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑀 − 1) → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))))
5855, 57oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑀 − 1) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
59 eqid 2621 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
60 ovex 6643 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) ∈ V
6158, 59, 60fvmpt 6249 . . . . . . 7 ((𝑀 − 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
6253, 61syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘(𝑀 − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))))
63 nncn 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
64 ax-1cn 9954 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
65 nncan 10270 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6663, 64, 65sylancl 693 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − (𝑀 − 1)) = 1)
6766oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = (-1↑1))
68 neg1cn 11084 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
69 exp1 12822 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑1) = -1)
7068, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑1) = -1
7167, 70syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1))) = -1)
7271oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1))
73 2nn 11145 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
74 nnmulcl 11003 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7573, 74mpan 705 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
7675peano2nnd 10997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
774, 76syl5eqel 2702 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
7877nnnn0d 11311 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
79 2z 11369 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
80 nnz 11359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
81 peano2zm 11380 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
83 zmulcl 11386 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
8479, 82, 83sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ)
85 bccl 13065 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8678, 84, 85syl2anc 692 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ0)
8786nn0cnd 11313 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
88 mulcom 9982 . . . . . . . 8 (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
8987, 68, 88sylancl 693 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · -1) = (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
9087mulm1d 10442 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1 · (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9172, 89, 903eqtrd 2659 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (-1↑(𝑀 − (𝑀 − 1)))) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9252, 62, 913eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
9387negcld 10339 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℂ)
9492, 93eqeltrd 2698 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) ∈ ℂ)
9550, 8fveq12d 6164 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀))
96 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
9796oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
98 oveq2 6623 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
9998oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
10097, 99oveq12d 6633 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
101 ovex 6643 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
102100, 59, 101fvmpt 6249 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1039, 102syl 17 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
10463subidd 10340 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
105104oveq2d 6631 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
106 exp0 12820 . . . . . . . . . 10 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
10768, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (-1↑0) = 1
108105, 107syl6eq 2671 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
109108oveq2d 6631 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
110 1eluzge0 11692 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ (ℤ‘0)
111 fzss1 12338 . . . . . . . . . . . 12 (1 ∈ (ℤ‘0) → (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁))
112110, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑁) ⊆ (0...𝑁)
11375nnred 10995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
114113lep1d 10915 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
115114, 4syl6breqr 4665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
116 nnuz 11683 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
11775, 116syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1))
11877nnzd 11441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
119 elfz5 12292 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
120117, 118, 119syl2anc 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
121115, 120mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁))
122112, 121sseldi 3586 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
123 bccl2 13066 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
124122, 123syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
125124nncnd 10996 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
126125mulid1d 10017 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
127109, 126eqtrd 2655 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
12895, 103, 1273eqtrd 2659 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
129128, 125eqeltrd 2698 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ∈ ℂ)
130124nnne0d 11025 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
131128, 130eqnetrd 2857 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃)) ≠ 0)
13294, 129, 131divnegd 10774 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))))
13392negeqd 10235 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
13487negnegd 10343 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → --(𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
135133, 134eqtrd 2655 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → -((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
136135, 128oveq12d 6633 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (-((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
137 bcm1k 13058 . . . . . . . . . 10 ((2 · 𝑀) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
138121, 137syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))))
13975nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
140 1cnd 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
141139, 140, 140pnncand 10391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1)) = (1 + 1))
1424oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = (((2 · 𝑀) + 1) − ((2 · 𝑀) − 1))
143 df-2 11039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 = (1 + 1)
144141, 142, 1433eqtr4g 2680 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) = 2)
145 2nn0 11269 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ0
146144, 145syl6eqel 2706 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0)
147 nnm1nn0 11294 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑀) ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
14875, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0)
149 nn0sub 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
150148, 78, 149syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁 ↔ (𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ0))
151146, 150mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁)
152632timesd 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
153152oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 + 𝑀) − 1))
15463, 63, 140addsubd 10373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 + 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
155153, 154eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) = ((𝑀 − 1) + 𝑀))
156 nn0nnaddcl 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 − 1) ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
15753, 156mpancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑀 − 1) + 𝑀) ∈ ℕ)
158155, 157eqeltrd 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ)
159158, 116syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1))
160 elfz5 12292 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑀) − 1) ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
161159, 118, 160syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) ↔ ((2 · 𝑀) − 1) ≤ 𝑁))
162151, 161mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁))
163 bcm1k 13058 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ (1...𝑁) → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
164162, 163syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))))
165642timesi 11107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
166165eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = (2 · 1)
167166oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑀) − (1 + 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1))
168139, 140, 140subsub4d 10383 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = ((2 · 𝑀) − (1 + 1)))
169 2cnd 11053 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
170169, 63, 140subdid 10446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) = ((2 · 𝑀) − (2 · 1)))
171167, 168, 1703eqtr4a 2681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) = (2 · (𝑀 − 1)))
172171oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))
17377nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
174158nncnd 10996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℂ)
175173, 174, 140subsubd 10380 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1))
176144oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = (2 + 1))
177 df-3 11040 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 = (2 + 1)
178176, 177syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) + 1) = 3)
179175, 178eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) = 3)
180179oveq1d 6630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1)) = (3 / ((2 · 𝑀) − 1)))
181172, 180oveq12d 6633 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(((2 · 𝑀) − 1) − 1)) · ((𝑁 − (((2 · 𝑀) − 1) − 1)) / ((2 · 𝑀) − 1))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
182164, 181eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))))
183144oveq1d 6630 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀)) = (2 / (2 · 𝑀)))
184182, 183oveq12d 6633 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C((2 · 𝑀) − 1)) · ((𝑁 − ((2 · 𝑀) − 1)) / (2 · 𝑀))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))))
185 3re 11054 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
186 nndivre 11016 . . . . . . . . . . . 12 ((3 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ) → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
187185, 158, 186sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℝ)
188187recnd 10028 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (3 / ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
189 2re 11050 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
190 nndivre 11016 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑀) ∈ ℕ) → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
191189, 75, 190sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
192191recnd 10028 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 / (2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
19387, 188, 192mulassd 10023 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (3 / ((2 · 𝑀) − 1))) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
194138, 184, 1933eqtrd 2659 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))))
195 3cn 11055 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 3 ∈ ℂ)
197158nnne0d 11025 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ≠ 0)
19875nnne0d 11025 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≠ 0)
199196, 174, 169, 139, 197, 198divmuldivd 10802 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))))
200 3t2e6 11139 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 2) = 6
201200a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (3 · 2) = 6)
202174, 139mulcomd 10021 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀)) = ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))
203201, 202oveq12d 6633 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 · 2) / (((2 · 𝑀) − 1) · (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
204199, 203eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
205204oveq2d 6631 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · ((3 / ((2 · 𝑀) − 1)) · (2 / (2 · 𝑀)))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
206194, 205eqtrd 2655 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
207206oveq1d 6630 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))))
208 6re 11061 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℝ
20975, 158nnmulcld 11028 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ)
210 nndivre 11016 . . . . . . . . 9 ((6 ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℕ) → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
211208, 209, 210sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℝ)
212211recnd 10028 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))) ∈ ℂ)
213 nnm1nn0 11294 . . . . . . . . . . . . . 14 (((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
214158, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) ∈ ℕ0)
215171, 214eqeltrrd 2699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℕ0)
216215nn0red 11312 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ ℝ)
217158nnred 10995 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) − 1) ∈ ℝ)
21877nnred 10995 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
219217ltm1d 10916 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (((2 · 𝑀) − 1) − 1) < ((2 · 𝑀) − 1))
220171, 219eqbrtrrd 4647 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) < ((2 · 𝑀) − 1))
221216, 217, 220ltled 10145 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ ((2 · 𝑀) − 1))
222216, 217, 218, 221, 151letrd 10154 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁)
223 nn0uz 11682 . . . . . . . . . . . 12 0 = (ℤ‘0)
224215, 223syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0))
225 elfz5 12292 . . . . . . . . . . 11 (((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
226224, 118, 225syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · (𝑀 − 1)) ≤ 𝑁))
227222, 226mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁))
228 bccl2 13066 . . . . . . . . 9 ((2 · (𝑀 − 1)) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
229227, 228syl 17 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ∈ ℕ)
230229nnne0d 11025 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) ≠ 0)
231212, 87, 230divcan3d 10766 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) · (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
232207, 231eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1)))) = (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1))))
233232oveq2d 6631 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))))
234125, 87, 130, 230recdivd 10778 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / ((𝑁C(2 · 𝑀)) / (𝑁C(2 · (𝑀 − 1))))) = ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))))
235209nncnd 10996 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ)
236209nnne0d 11025 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)
237 6cn 11062 . . . . . 6 6 ∈ ℂ
238 6nn 11149 . . . . . . 7 6 ∈ ℕ
239238nnne0i 11015 . . . . . 6 6 ≠ 0
240 recdiv 10691 . . . . . 6 (((6 ∈ ℂ ∧ 6 ≠ 0) ∧ (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0)) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
241237, 239, 240mpanl12 717 . . . . 5 ((((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ∈ ℂ ∧ ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) ≠ 0) → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
242235, 236, 241syl2anc 692 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1 / (6 / ((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
243233, 234, 2423eqtr3d 2663 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · (𝑀 − 1))) / (𝑁C(2 · 𝑀))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
244132, 136, 2433eqtrd 2659 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → -(((coeff‘𝑃)‘((deg‘𝑃) − 1)) / ((coeff‘𝑃)‘(deg‘𝑃))) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
24534, 49, 2443eqtr3d 2663 1 (𝑀 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (1...𝑀)((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (((2 · 𝑀) · ((2 · 𝑀) − 1)) / 6))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3560  {csn 4155   class class class wbr 4623  cmpt 4683  ccnv 5083  dom cdm 5084  cima 5087  wf 5853  1-1-ontowf1o 5856  cfv 5857  (class class class)co 6615  cen 7912  Fincfn 7915  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897   + caddc 9899   · cmul 9901   < clt 10034  cle 10035  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  cn 10980  2c2 11030  3c3 11031  6c6 11034  0cn0 11252  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  cexp 12816  Ccbc 13045  #chash 13073  Σcsu 14366  tanctan 14740  πcpi 14741  0𝑝c0p 23376  Polycply 23878  coeffccoe 23880  degcdgr 23881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-xnn0 11324  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-tan 14746  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-0p 23377  df-limc 23570  df-dv 23571  df-ply 23882  df-idp 23883  df-coe 23884  df-dgr 23885  df-quot 23984
This theorem is referenced by:  basellem8  24748
  Copyright terms: Public domain W3C validator