MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem4 25009
Description: Lemma for basel 25015. By basellem3 25008, the expression 𝑃((cot𝑥)↑2) = sin(𝑁𝑥) / (sin𝑥)↑𝑁 goes to zero whenever 𝑥 = 𝑛π / 𝑁 for some 𝑛 ∈ (1...𝑀), so this function enumerates 𝑀 distinct roots of a degree- 𝑀 polynomial, which must therefore be all the roots by fta1 24262. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
basel.t 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
Assertion
Ref Expression
basellem4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)   𝑇(𝑡,𝑗,𝑛)

Proof of Theorem basellem4
Dummy variables 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 basel.n . . . . . . . . 9 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
21basellem1 25006 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
3 tanrpcl 24455 . . . . . . . 8 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
5 2z 11601 . . . . . . . 8 2 ∈ ℤ
6 znegcl 11604 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℤ → -2 ∈ ℤ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 -2 ∈ ℤ
8 rpexpcl 13073 . . . . . . 7 (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ -2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
94, 7, 8sylancl 697 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ+)
109rpcnd 12067 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ)
11 basel.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
121, 11basellem3 25008 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2))) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
132, 12syldan 488 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
14 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℤ)
1514adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℤ)
1615zred 11674 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑛 ∈ ℝ)
17 pire 24409 . . . . . . . . . . . 12 π ∈ ℝ
18 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
1916, 17, 18sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℝ)
2019recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑛 · π) ∈ ℂ)
21 2nn 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℕ
22 nnmulcl 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2321, 22mpan 708 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2423peano2nnd 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
251, 24syl5eqel 2843 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2625adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2726nncnd 11228 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2826nnne0d 11257 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ≠ 0)
2920, 27, 28divcan2d 10995 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁)) = (𝑛 · π))
3029fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = (sin‘(𝑛 · π)))
31 sinkpi 24470 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3215, 31syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑛 · π)) = 0)
3330, 32eqtrd 2794 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) = 0)
3433oveq1d 6828 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘(𝑁 · ((𝑛 · π) / 𝑁))) / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)))
3519, 26nndivred 11261 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
3635resincld 15072 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ)
3736recnd 10260 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
3826nnnn0d 11543 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3937, 38expcld 13202 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ∈ ℂ)
40 sincosq1sgn 24449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑛 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
412, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ∧ 0 < (cos‘((𝑛 · π) / 𝑁))))
4241simpld 477 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)))
4342gt0ne0d 10784 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (sin‘((𝑛 · π) / 𝑁)) ≠ 0)
4426nnzd 11673 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
4537, 43, 44expne0d 13208 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁) ≠ 0)
4639, 45div0d 10992 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (0 / ((sin‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑𝑁)) = 0)
4713, 34, 463eqtrd 2798 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)
481, 11basellem2 25007 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
4948simp1d 1137 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
50 plyf 24153 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) → 𝑃:ℂ⟶ℂ)
51 ffn 6206 . . . . . . . 8 (𝑃:ℂ⟶ℂ → 𝑃 Fn ℂ)
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 Fn ℂ)
5352adantr 472 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → 𝑃 Fn ℂ)
54 fniniseg 6501 . . . . . 6 (𝑃 Fn ℂ → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5553, 54syl 17 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}) ↔ (((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℂ ∧ (𝑃‘((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2)) = 0)))
5610, 47, 55mpbir2and 995 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ (𝑃 “ {0}))
57 basel.t . . . 4 𝑇 = (𝑛 ∈ (1...𝑀) ↦ ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2))
5856, 57fmptd 6548 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}))
59 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑚 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑚))
60 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑥 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑥))
61 fveq2 6352 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑦 → (𝑇𝑘) = (𝑇𝑦))
6214zred 11674 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ (1...𝑀) → 𝑛 ∈ ℝ)
6362ssriv 3748 . . . . . 6 (1...𝑀) ⊆ ℝ
649rpred 12065 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑀)) → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ ℝ)
6564, 57fmptd 6548 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)⟶ℝ)
6665ffvelrnda 6522 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → (𝑇𝑘) ∈ ℝ)
67 simplr 809 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 < 𝑚)
6863sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → 𝑘 ∈ ℝ)
6968ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℝ)
7063sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → 𝑚 ∈ ℝ)
7170ad2antll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑚 ∈ ℝ)
7217a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → π ∈ ℝ)
73 pipos 24411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 < π
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < π)
75 ltmul1 11065 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ ∧ (π ∈ ℝ ∧ 0 < π)) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7669, 71, 72, 74, 75syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 ↔ (𝑘 · π) < (𝑚 · π)))
7767, 76mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) < (𝑚 · π))
78 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
7969, 17, 78sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 · π) ∈ ℝ)
80 remulcl 10213 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8171, 17, 80sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑚 · π) ∈ ℝ)
8225ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ)
8382nnred 11227 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8482nngt0d 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → 0 < 𝑁)
85 ltdiv1 11079 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑘 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · π) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8679, 81, 83, 84, 85syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) < (𝑚 · π) ↔ ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁)))
8777, 86mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁))
88 neghalfpirx 24417 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ∈ ℝ*
89 pirp 24412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ+
90 rphalfcl 12051 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
91 rpge0 12038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 ≤ (π / 2))
9289, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (π / 2)
93 halfpire 24415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / 2) ∈ ℝ
94 le0neg2 10729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0))
9593, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ≤ (π / 2) ↔ -(π / 2) ≤ 0)
9692, 95mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 -(π / 2) ≤ 0
97 iooss1 12403 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ -(π / 2) ≤ 0) → (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
9888, 96, 97mp2an 710 . . . . . . . . . . . . . 14 (0(,)(π / 2)) ⊆ (-(π / 2)(,)(π / 2))
991basellem1 25006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10099ad2ant2r 800 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10198, 100sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
1021basellem1 25006 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀)) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
103102ad2ant2rl 802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
10498, 103sseldi 3742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
105 tanord 24483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ∧ ((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
106101, 104, 105syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((𝑘 · π) / 𝑁) < ((𝑚 · π) / 𝑁) ↔ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
10787, 106mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
108 tanrpcl 24455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑘 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
109100, 108syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
110 tanrpcl 24455 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑚 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
111103, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+)
112 rprege0 12040 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))))
113 rprege0 12040 . . . . . . . . . . . . 13 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))))
114 lt2sq 13131 . . . . . . . . . . . . 13 ((((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))) ∧ ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
115112, 113, 114syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
116109, 111, 115syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) < (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ↔ ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
117107, 116mpbid 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2))
118 rpexpcl 13073 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
119109, 5, 118sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
120 rpexpcl 13073 . . . . . . . . . . . 12 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
121111, 5, 120sylancl 697 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ∈ ℝ+)
122119, 121ltrecd 12083 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2) < ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2) ↔ (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2))))
123117, 122mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)) < (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
124 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · π) = (𝑚 · π))
125124oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · π) / 𝑁) = ((𝑚 · π) / 𝑁))
126125fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)))
127126oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
128 ovex 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
129127, 57, 128fvmpt 6444 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
130129ad2antll 767 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2))
131111rpcnd 12067 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
132 2nn0 11501 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
133 expneg 13062 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
134131, 132, 133sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
135130, 134eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) = (1 / ((tan‘((𝑚 · π) / 𝑁))↑2)))
136 oveq1 6820 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · π) = (𝑘 · π))
137136oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 · π) / 𝑁) = ((𝑘 · π) / 𝑁))
138137fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (tan‘((𝑛 · π) / 𝑁)) = (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)))
139138oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((tan‘((𝑛 · π) / 𝑁))↑-2) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
140 ovex 6841 . . . . . . . . . . . 12 ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) ∈ V
141139, 57, 140fvmpt 6444 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (1...𝑀) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
142141ad2antrl 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2))
143109rpcnd 12067 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ)
144 expneg 13062 . . . . . . . . . . 11 (((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁)) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
145143, 132, 144sylancl 697 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑-2) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
146142, 145eqtrd 2794 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑘) = (1 / ((tan‘((𝑘 · π) / 𝑁))↑2)))
147123, 135, 1463brtr4d 4836 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑘 < 𝑚) ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
148147an32s 881 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) ∧ 𝑘 < 𝑚) → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘))
149148ex 449 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑘 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑀))) → (𝑘 < 𝑚 → (𝑇𝑚) < (𝑇𝑘)))
15059, 60, 61, 63, 66, 149eqord2 10751 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝑇𝑥) = (𝑇𝑦)))
151150biimprd 238 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ (1...𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (1...𝑀))) → ((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
152151ralrimivva 3109 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
153 dff13 6675 . . 3 (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ (𝑇:(1...𝑀)⟶(𝑃 “ {0}) ∧ ∀𝑥 ∈ (1...𝑀)∀𝑦 ∈ (1...𝑀)((𝑇𝑥) = (𝑇𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
15458, 152, 153sylanbrc 701 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}))
15548simp2d 1138 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
156 nnne0 11245 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ≠ 0)
157155, 156eqnetrd 2999 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) ≠ 0)
158 fveq2 6352 . . . . . . . . . 10 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = (deg‘0𝑝))
159 dgr0 24217 . . . . . . . . . 10 (deg‘0𝑝) = 0
160158, 159syl6eq 2810 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 0𝑝 → (deg‘𝑃) = 0)
161160necon3i 2964 . . . . . . . 8 ((deg‘𝑃) ≠ 0 → 𝑃 ≠ 0𝑝)
162157, 161syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ≠ 0𝑝)
163 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑃 “ {0}) = (𝑃 “ {0})
164163fta1 24262 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ 𝑃 ≠ 0𝑝) → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
16549, 162, 164syl2anc 696 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃)))
166165simpld 477 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ∈ Fin)
167 f1domg 8141 . . . . 5 ((𝑃 “ {0}) ∈ Fin → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0})))
168166, 154, 167sylc 65 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}))
169165simprd 482 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (deg‘𝑃))
170 nnnn0 11491 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
171 hashfz1 13328 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ0 → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
172170, 171syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(1...𝑀)) = 𝑀)
173155, 172eqtr4d 2797 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = (♯‘(1...𝑀)))
174169, 173breqtrd 4830 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → (♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)))
175 fzfid 12966 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ∈ Fin)
176 hashdom 13360 . . . . . 6 (((𝑃 “ {0}) ∈ Fin ∧ (1...𝑀) ∈ Fin) → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
177166, 175, 176syl2anc 696 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((♯‘(𝑃 “ {0})) ≤ (♯‘(1...𝑀)) ↔ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)))
178174, 177mpbid 222 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀))
179 sbth 8245 . . . 4 (((1...𝑀) ≼ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ≼ (1...𝑀)) → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
180168, 178, 179syl2anc 696 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}))
181 f1finf1o 8352 . . 3 (((1...𝑀) ≈ (𝑃 “ {0}) ∧ (𝑃 “ {0}) ∈ Fin) → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
182180, 166, 181syl2anc 696 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑇:(1...𝑀)–1-1→(𝑃 “ {0}) ↔ 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0})))
183154, 182mpbid 222 1 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑇:(1...𝑀)–1-1-onto→(𝑃 “ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wss 3715  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  ccnv 5265  cima 5269   Fn wfn 6044  wf 6045  1-1wf1 6046  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  cen 8118  cdom 8119  Fincfn 8121  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  +crp 12025  (,)cioo 12368  ...cfz 12519  cexp 13054  Ccbc 13283  chash 13311  Σcsu 14615  sincsin 14993  cosccos 14994  tanctan 14995  πcpi 14996  0𝑝c0p 23635  Polycply 24139  coeffccoe 24141  degcdgr 24142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-tan 15001  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830  df-ply 24143  df-idp 24144  df-coe 24145  df-dgr 24146  df-quot 24245
This theorem is referenced by:  basellem5  25010
  Copyright terms: Public domain W3C validator