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Theorem basellem2 25005
Description: Lemma for basel 25013. Show that 𝑃 is a polynomial of degree 𝑀, and compute its coefficient function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
basel.p 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
Assertion
Ref Expression
basellem2 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑗,𝑛,𝑀   𝑗,𝑁,𝑛,𝑡   𝑃,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑡,𝑗)

Proof of Theorem basellem2
StepHypRef Expression
1 basel.p . . 3 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
2 ssid 3763 . . . . 5 ℂ ⊆ ℂ
32a1i 11 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ℂ ⊆ ℂ)
4 nnnn0 11489 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℕ0)
5 elfznn0 12624 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
6 oveq2 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑗))
76oveq2d 6827 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑗)))
8 oveq2 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑗 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑗))
98oveq2d 6827 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑗)))
107, 9oveq12d 6829 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
11 eqid 2758 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))
12 ovex 6839 . . . . . . . 8 ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ V
1310, 11, 12fvmpt 6442 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
145, 13syl 17 . . . . . 6 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
1514adantl 473 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
16 basel.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
17 2nn 11375 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ
18 nnmulcl 11233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
1917, 18mpan 708 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2019peano2nnd 11227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
2116, 20syl5eqel 2841 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2221nnnn0d 11541 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
23 2z 11599 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
24 nn0z 11590 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
25 zmulcl 11616 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
2623, 24, 25sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑛) ∈ ℤ)
27 bccl 13301 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℤ) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2822, 26, 27syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11543 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑁C(2 · 𝑛)) ∈ ℂ)
30 nnz 11589 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
31 zsubcl 11609 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
3230, 24, 31syl2an 495 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑛) ∈ ℤ)
33 neg1cn 11314 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℂ
34 neg1ne0 11316 . . . . . . . . . 10 -1 ≠ 0
35 expclz 13077 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑛) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3633, 34, 35mp3an12 1561 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑛) ∈ ℤ → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3732, 36syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑛)) ∈ ℂ)
3829, 37mulcld 10250 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) ∈ ℂ)
3938, 11fmptd 6546 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ)
40 ffvelrn 6518 . . . . . 6 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
4139, 5, 40syl2an 495 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ∈ ℂ)
4215, 41eqeltrrd 2838 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) ∈ ℂ)
433, 4, 42elplyd 24155 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))) ∈ (Poly‘ℂ))
441, 43syl5eqel 2841 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ (Poly‘ℂ))
45 nnre 11217 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
46 nn0re 11491 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℝ)
47 ltnle 10307 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4845, 46, 47syl2an 495 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ ¬ 𝑗𝑀))
4913ad2antlr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))))
5022ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℕ0)
51 nn0z 11590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℤ)
5251ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℤ)
53 zmulcl 11616 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
5423, 52, 53sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑗) ∈ ℤ)
55 ax-1cn 10184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℂ
56552timesi 11337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 1) = (1 + 1)
5756oveq2i 6822 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝑀) + (2 · 1)) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1))
58 2cnd 11283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 2 ∈ ℂ)
59 nncn 11218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℂ)
6059ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℂ)
6155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 1 ∈ ℂ)
6258, 60, 61adddid 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = ((2 · 𝑀) + (2 · 1)))
6316oveq1i 6821 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 + 1) = (((2 · 𝑀) + 1) + 1)
6419ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
6564nncnd 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
6665, 61, 61addassd 10252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (((2 · 𝑀) + 1) + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6763, 66syl5eq 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) = ((2 · 𝑀) + (1 + 1)))
6857, 62, 673eqtr4a 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) = (𝑁 + 1))
69 zltp1le 11617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
7030, 51, 69syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 ↔ (𝑀 + 1) ≤ 𝑗))
7170biimpa 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ≤ 𝑗)
7245ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑀 ∈ ℝ)
73 peano2re 10399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
7546ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑗 ∈ ℝ)
76 2re 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℝ
77 2pos 11302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 2
7876, 77pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
80 lemul2 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑗 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
8174, 75, 79, 80syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑀 + 1) ≤ 𝑗 ↔ (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗)))
8271, 81mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (2 · (𝑀 + 1)) ≤ (2 · 𝑗))
8368, 82eqbrtrrd 4826 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗))
8421nnzd 11671 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8584ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 ∈ ℤ)
86 zltp1le 11617 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8785, 54, 86syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁 < (2 · 𝑗) ↔ (𝑁 + 1) ≤ (2 · 𝑗)))
8883, 87mpbird 247 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → 𝑁 < (2 · 𝑗))
8988olcd 407 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗)))
90 bcval4 13286 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑗) ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑗) < 0 ∨ 𝑁 < (2 · 𝑗))) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
9150, 54, 89, 90syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (𝑁C(2 · 𝑗)) = 0)
9291oveq1d 6826 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) = (0 · (-1↑(𝑀𝑗))))
93 zsubcl 11609 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ ℤ) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
9430, 51, 93syl2an 495 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑗) ∈ ℤ)
95 expclz 13077 . . . . . . . . . . . . 13 ((-1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0 ∧ (𝑀𝑗) ∈ ℤ) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9633, 34, 95mp3an12 1561 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀𝑗) ∈ ℤ → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9897adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (-1↑(𝑀𝑗)) ∈ ℂ)
9998mul02d 10424 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → (0 · (-1↑(𝑀𝑗))) = 0)
10049, 92, 993eqtrd 2796 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 < 𝑗) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0)
101100ex 449 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑗 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
10248, 101sylbird 250 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑗𝑀 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) = 0))
103102necon1ad 2947 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
104103ralrimiva 3102 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀))
105 plyco0 24145 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))):ℕ0⟶ℂ) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
1064, 39, 105syl2anc 696 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0} ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ0 (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) ≠ 0 → 𝑗𝑀)))
107104, 106mpbird 247 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))) “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
10814oveq1d 6826 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = (((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
109108sumeq2i 14626 . . . . . 6 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗))
110109mpteq2i 4891 . . . . 5 (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))) = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑁C(2 · 𝑗)) · (-1↑(𝑀𝑗))) · (𝑡𝑗)))
1111, 110eqtr4i 2783 . . . 4 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗)))
112111a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑃 = (𝑡 ∈ ℂ ↦ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑗) · (𝑡𝑗))))
113 oveq2 6819 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (2 · 𝑛) = (2 · 𝑀))
114113oveq2d 6827 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑁C(2 · 𝑛)) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
115 oveq2 6819 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (𝑀𝑛) = (𝑀𝑀))
116115oveq2d 6827 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (-1↑(𝑀𝑛)) = (-1↑(𝑀𝑀)))
117114, 116oveq12d 6829 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
118 ovex 6839 . . . . . . 7 ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) ∈ V
119117, 11, 118fvmpt 6442 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
1204, 119syl 17 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))))
12159subidd 10570 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀𝑀) = 0)
122121oveq2d 6827 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = (-1↑0))
123 exp0 13056 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1↑0) = 1)
12433, 123ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1↑0) = 1
125122, 124syl6eq 2808 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (-1↑(𝑀𝑀)) = 1)
126125oveq2d 6827 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · (-1↑(𝑀𝑀))) = ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1))
12719nnred 11225 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
128127lep1d 11145 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ ((2 · 𝑀) + 1))
129128, 16syl6breqr 4844 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ≤ 𝑁)
13019nnnn0d 11541 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ0)
131 nn0uz 11913 . . . . . . . . . . 11 0 = (ℤ‘0)
132130, 131syl6eleq 2847 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0))
133 elfz5 12525 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑀) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
134132, 84, 133syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) ↔ (2 · 𝑀) ≤ 𝑁))
135129, 134mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁))
136 bccl2 13302 . . . . . . . 8 ((2 · 𝑀) ∈ (0...𝑁) → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
137135, 136syl 17 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℕ)
138137nncnd 11226 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ∈ ℂ)
139138mulid1d 10247 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁C(2 · 𝑀)) · 1) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
140120, 126, 1393eqtrd 2796 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) = (𝑁C(2 · 𝑀)))
141137nnne0d 11255 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁C(2 · 𝑀)) ≠ 0)
142140, 141eqnetrd 2997 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))‘𝑀) ≠ 0)
14344, 4, 39, 107, 112, 142dgreq 24197 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (deg‘𝑃) = 𝑀)
14444, 4, 39, 107, 112coeeq 24180 . 2 (𝑀 ∈ ℕ → (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛)))))
14544, 143, 1443jca 1123 1 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ (Poly‘ℂ) ∧ (deg‘𝑃) = 𝑀 ∧ (coeff‘𝑃) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑁C(2 · 𝑛)) · (-1↑(𝑀𝑛))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1630  wcel 2137  wne 2930  wral 3048  wss 3713  {csn 4319   class class class wbr 4802  cmpt 4879  cima 5267  wf 6043  cfv 6047  (class class class)co 6811  cc 10124  cr 10125  0cc0 10126  1c1 10127   + caddc 10129   · cmul 10131   < clt 10264  cle 10265  cmin 10456  -cneg 10457  cn 11210  2c2 11260  0cn0 11482  cz 11567  cuz 11877  ...cfz 12517  cexp 13052  Ccbc 13281  Σcsu 14613  Polycply 24137  coeffccoe 24139  degcdgr 24140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-inf2 8709  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203  ax-pre-sup 10204  ax-addf 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-se 5224  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-isom 6056  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-of 7060  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-map 8023  df-pm 8024  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-sup 8511  df-inf 8512  df-oi 8578  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-div 10875  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-rp 12024  df-fz 12518  df-fzo 12658  df-fl 12785  df-seq 12994  df-exp 13053  df-fac 13253  df-bc 13282  df-hash 13310  df-cj 14036  df-re 14037  df-im 14038  df-sqrt 14172  df-abs 14173  df-clim 14416  df-rlim 14417  df-sum 14614  df-0p 23634  df-ply 24141  df-coe 24143  df-dgr 24144
This theorem is referenced by:  basellem4  25007  basellem5  25008
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