Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  baselcarsg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem baselcarsg 30702
Description: The universe set, 𝑂, is Caratheodory measurable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (𝜑𝑂𝑉)
carsgval.2 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
baselcarsg.1 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
Assertion
Ref Expression
baselcarsg (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))

Proof of Theorem baselcarsg
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3771 . . . 4 𝑂𝑂
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝑂𝑂)
3 elpwi 4305 . . . . . . . . 9 (𝑒 ∈ 𝒫 𝑂𝑒𝑂)
43adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒𝑂)
5 df-ss 3735 . . . . . . . 8 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = 𝑒)
64, 5sylib 208 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = 𝑒)
76fveq2d 6336 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = (𝑀𝑒))
8 ssdif0 4087 . . . . . . . . 9 (𝑒𝑂 ↔ (𝑒𝑂) = ∅)
94, 8sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑒𝑂) = ∅)
109fveq2d 6336 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = (𝑀‘∅))
11 baselcarsg.1 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘∅) = 0)
1211adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘∅) = 0)
1310, 12eqtrd 2804 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀‘(𝑒𝑂)) = 0)
147, 13oveq12d 6810 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = ((𝑀𝑒) +𝑒 0))
15 iccssxr 12460 . . . . . . 7 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
16 carsgval.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
1716adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑀:𝒫 𝑂⟶(0[,]+∞))
18 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → 𝑒 ∈ 𝒫 𝑂)
1917, 18ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ (0[,]+∞))
2015, 19sseldi 3748 . . . . . 6 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → (𝑀𝑒) ∈ ℝ*)
21 xaddid1 12276 . . . . . 6 ((𝑀𝑒) ∈ ℝ* → ((𝑀𝑒) +𝑒 0) = (𝑀𝑒))
2220, 21syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀𝑒) +𝑒 0) = (𝑀𝑒))
2314, 22eqtrd 2804 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ 𝒫 𝑂) → ((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))
2423ralrimiva 3114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))
252, 24jca 495 . 2 (𝜑 → (𝑂𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒)))
26 carsgval.1 . . 3 (𝜑𝑂𝑉)
2726, 16elcarsg 30701 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀) ↔ (𝑂𝑂 ∧ ∀𝑒 ∈ 𝒫 𝑂((𝑀‘(𝑒𝑂)) +𝑒 (𝑀‘(𝑒𝑂))) = (𝑀𝑒))))
2825, 27mpbird 247 1 (𝜑𝑂 ∈ (toCaraSiga‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  cdif 3718  cin 3720  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  +∞cpnf 10272  *cxr 10274   +𝑒 cxad 12148  [,]cicc 12382  toCaraSigaccarsg 30697
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-xadd 12151  df-icc 12386  df-carsg 30698
This theorem is referenced by:  carsguni  30704  fiunelcarsg  30712  carsgsiga  30718
  Copyright terms: Public domain W3C validator