Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemgun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemgun 30916
 Description: A property of the defined ↑ operator. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
ballotlemgun.1 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
ballotlemgun.2 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
ballotlemgun.3 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
ballotlemgun.4 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
Assertion
Ref Expression
ballotlemgun (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐼   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣   𝑢,𝑈,𝑣   𝑢,𝑉,𝑣   𝑢,𝑊,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑉(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑊(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)

Proof of Theorem ballotlemgun
StepHypRef Expression
1 indir 4018 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
21fveq2i 6356 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
3 ballotlemgun.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ Fin)
4 infi 8351 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
6 ballotlemgun.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Fin)
7 infi 8351 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
9 ballotlemgun.4 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑊) = ∅)
109ineq1d 3956 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = (∅ ∩ 𝑈))
11 inindir 3974 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∩ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
12 0in 4112 . . . . . . 7 (∅ ∩ 𝑈) = ∅
1310, 11, 123eqtr3g 2817 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
14 hashun 13383 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
155, 8, 13, 14syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
162, 15syl5eq 2806 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
17 difundir 4023 . . . . . 6 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))
1817fveq2i 6356 . . . . 5 (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈)))
19 diffi 8359 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑉𝑈) ∈ Fin)
21 diffi 8359 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Fin → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
226, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝑈) ∈ Fin)
239difeq1d 3870 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = (∅ ∖ 𝑈))
24 difindir 4025 . . . . . . 7 ((𝑉𝑊) ∖ 𝑈) = ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈))
25 0dif 4120 . . . . . . 7 (∅ ∖ 𝑈) = ∅
2623, 24, 253eqtr3g 2817 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅)
27 hashun 13383 . . . . . 6 (((𝑉𝑈) ∈ Fin ∧ (𝑊𝑈) ∈ Fin ∧ ((𝑉𝑈) ∩ (𝑊𝑈)) = ∅) → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2820, 22, 26, 27syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑈) ∪ (𝑊𝑈))) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
2918, 28syl5eq 2806 . . . 4 (𝜑 → (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈)) = ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))))
3016, 29oveq12d 6832 . . 3 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))))
31 hashcl 13359 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
323, 4, 313syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3332nn0cnd 11565 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
34 hashcl 13359 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
356, 7, 343syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11565 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
37 hashcl 13359 . . . . . 6 ((𝑉𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
383, 19, 373syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11565 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑉𝑈)) ∈ ℂ)
40 hashcl 13359 . . . . . 6 ((𝑊𝑈) ∈ Fin → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
416, 21, 403syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 11565 . . . 4 (𝜑 → (♯‘(𝑊𝑈)) ∈ ℂ)
4333, 36, 39, 42addsub4d 10651 . . 3 (𝜑 → (((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈))) − ((♯‘(𝑉𝑈)) + (♯‘(𝑊𝑈)))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
4430, 43eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
45 ballotlemgun.1 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ Fin)
46 unfi 8394 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
473, 6, 46syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑉𝑊) ∈ Fin)
48 ballotth.m . . . 4 𝑀 ∈ ℕ
49 ballotth.n . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
50 ballotth.o . . . 4 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
51 ballotth.p . . . 4 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
52 ballotth.f . . . 4 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
53 ballotth.e . . . 4 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
54 ballotth.mgtn . . . 4 𝑁 < 𝑀
55 ballotth.i . . . 4 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
56 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
57 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
58 ballotlemg . . . 4 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
5948, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30915 . . 3 ((𝑈 ∈ Fin ∧ (𝑉𝑊) ∈ Fin) → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6045, 47, 59syl2anc 696 . 2 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((♯‘((𝑉𝑊) ∩ 𝑈)) − (♯‘((𝑉𝑊) ∖ 𝑈))))
6148, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30915 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6245, 3, 61syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑉) = ((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))))
6348, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58ballotlemgval 30915 . . . 4 ((𝑈 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Fin) → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6445, 6, 63syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (𝑈 𝑊) = ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈))))
6562, 64oveq12d 6832 . 2 (𝜑 → ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)) = (((♯‘(𝑉𝑈)) − (♯‘(𝑉𝑈))) + ((♯‘(𝑊𝑈)) − (♯‘(𝑊𝑈)))))
6644, 60, 653eqtr4d 2804 1 (𝜑 → (𝑈 (𝑉𝑊)) = ((𝑈 𝑉) + (𝑈 𝑊)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  {crab 3054   ∖ cdif 3712   ∪ cun 3713   ∩ cin 3714  ∅c0 4058  ifcif 4230  𝒫 cpw 4302   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881   “ cima 5269  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814   ↦ cmpt2 6816  Fincfn 8123  infcinf 8514  ℝcr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286   ≤ cle 10287   − cmin 10478   / cdiv 10896  ℕcn 11232  ℕ0cn0 11504  ℤcz 11589  ...cfz 12539  ♯chash 13331 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-hash 13332 This theorem is referenced by:  ballotlemfrceq  30920
 Copyright terms: Public domain W3C validator