Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfrci Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfrci 30920
Description: Reverse counting preserves a tie at the first tie. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
ballotlemg = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfrci (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = 0)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖   𝑣,𝑢,𝐶   𝑢,𝐼,𝑣   𝑢,𝑅,𝑣   𝑢,𝑆,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑘,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥,𝑣,𝑢)   (𝑥,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑐)   𝐹(𝑥,𝑣,𝑢)   𝐼(𝑥)   𝑀(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑣,𝑢)   𝑂(𝑥,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem ballotlemfrci
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . 7 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . 7 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . . . . . 7 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotth.e . . . . . . 7 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
7 ballotth.mgtn . . . . . . 7 𝑁 < 𝑀
8 ballotth.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ballotlemiex 30894 . . . . . 6 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
109simpld 477 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
11 elfzuz 12552 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘1))
12 eluzfz2 12563 . . . . 5 ((𝐼𝐶) ∈ (ℤ‘1) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
1310, 11, 123syl 18 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶)))
14 ballotth.s . . . . 5 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
15 ballotth.r . . . . 5 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
16 ballotlemg . . . . 5 = (𝑢 ∈ Fin, 𝑣 ∈ Fin ↦ ((♯‘(𝑣𝑢)) − (♯‘(𝑣𝑢))))
171, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16ballotlemfrc 30919 . . . 4 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝐼𝐶))) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))))
1813, 17mpdan 705 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))))
191, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14ballotlemsi 30907 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 1)
2019oveq1d 6830 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶)) = (1...(𝐼𝐶)))
2120oveq2d 6831 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐶 (((𝑆𝐶)‘(𝐼𝐶))...(𝐼𝐶))) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
2218, 21eqtrd 2795 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
23 fz1ssfz0 12650 . . . 4 (1...(𝑀 + 𝑁)) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁))
2423, 10sseldi 3743 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14, 15, 16ballotlemfg 30918 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ (𝐼𝐶) ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
2624, 25mpdan 705 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = (𝐶 (1...(𝐼𝐶))))
279simprd 482 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0)
2822, 26, 273eqtr2d 2801 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐹‘(𝑅𝐶))‘(𝐼𝐶)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1632  wcel 2140  wral 3051  {crab 3055  cdif 3713  cin 3715  ifcif 4231  𝒫 cpw 4303   class class class wbr 4805  cmpt 4882  cima 5270  cfv 6050  (class class class)co 6815  cmpt2 6817  Fincfn 8124  infcinf 8515  cr 10148  0cc0 10149  1c1 10150   + caddc 10152   < clt 10287  cle 10288  cmin 10479   / cdiv 10897  cn 11233  cz 11590  cuz 11900  ...cfz 12540  chash 13332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-rep 4924  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-1st 7335  df-2nd 7336  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-1o 7731  df-oadd 7735  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-sup 8516  df-inf 8517  df-card 8976  df-cda 9203  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-nn 11234  df-2 11292  df-n0 11506  df-z 11591  df-uz 11901  df-rp 12047  df-fz 12541  df-hash 13333
This theorem is referenced by:  ballotlemrc  30923  ballotlemirc  30924
  Copyright terms: Public domain W3C validator