Theorem ballotlemfmpn 30530

Description: (𝐹‘𝐶) finishes counting at (𝑀 − 𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	⊢ 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o	⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f	⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfmpn	⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ballotth.m	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ
2		ballotth.n	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3		ballotth.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4		ballotth.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5		ballotth.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑐 ∈ 𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6		id 22	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝑂)
7		nnaddcl 11027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
8	1, 2, 7	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
9	8	nnzi 11386	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10	ballotlemfval 30525	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12		ssrab2 3679	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
13	3, 12	eqsstri 3627	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
14	13	sseli 3591	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
15	14	elpwid 4161	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16		sseqin2 3809	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
17	15, 16	sylib 208	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
18	17	fveq2d 6182	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (#‘𝐶))
19		rabssab 3682	. . . . . . 7 ⊢ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
20	19	sseli 3591	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
21	20, 3	eleq2s 2717	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀})
22		fveq2 6178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → (#‘𝑏) = (#‘𝐶))
23	22	eqeq1d 2622	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐶 → ((#‘𝑏) = 𝑀 ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
24		fveq2 6178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → (#‘𝑐) = (#‘𝑏))
25	24	eqeq1d 2622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝑏 → ((#‘𝑐) = 𝑀 ↔ (#‘𝑏) = 𝑀))
26	25	cbvabv 2745	. . . . . 6 ⊢ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (#‘𝑏) = 𝑀}
27	23, 26	elab2g 3347	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (#‘𝑐) = 𝑀} ↔ (#‘𝐶) = 𝑀))
28	21, 27	mpbid 222	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘𝐶) = 𝑀)
29	18, 28	eqtrd 2654	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
30		fzfi 12754	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
31		hashssdif 13183	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
32	30, 15, 31	sylancr 694	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)))
33	8	nnnn0i 11285	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
34		hashfz1 13117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
36	35, 28	oveq12d 6653	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (#‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
37	1	nncni 11015	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
38	2	nncni 11015	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
39		pncan2 10273	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
40	37, 38, 39	mp2an 707	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
42	32, 36, 41	3eqtrd 2658	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
43	29, 42	oveq12d 6653	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀 − 𝑁))
44	11, 43	eqtrd 2654	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑂 → ((𝐹‘𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀 − 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1481   ∈ wcel 1988  {cab 2606  {crab 2913   ∖ cdif 3564   ∩ cin 3566   ⊆ wss 3567  𝒫 cpw 4149   ↦ cmpt 4720  ‘cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  ℂcc 9919  1c1 9922   + caddc 9924   − cmin 10251   / cdiv 10669  ℕcn 11005  ℕ₀cn0 11277  ℤcz 11362  ...cfz 12311  #chash 13100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-hash 13101

This theorem is referenced by:  ballotlem5  30535