Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfmpn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfmpn 30890
Description: (𝐹𝐶) finishes counting at (𝑀𝑁). (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
Assertion
Ref Expression
ballotlemfmpn (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfmpn
Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 id 22 . . 3 (𝐶𝑂𝐶𝑂)
7 nnaddcl 11243 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
81, 2, 7mp2an 664 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
98nnzi 11602 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ
109a1i 11 . . 3 (𝐶𝑂 → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℤ)
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10ballotlemfval 30885 . 2 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))))
12 ssrab2 3834 . . . . . . . . 9 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
133, 12eqsstri 3782 . . . . . . . 8 𝑂 ⊆ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁))
1413sseli 3746 . . . . . . 7 (𝐶𝑂𝐶 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)))
1514elpwid 4307 . . . . . 6 (𝐶𝑂𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)))
16 sseqin2 3966 . . . . . 6 (𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↔ ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1715, 16sylib 208 . . . . 5 (𝐶𝑂 → ((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶) = 𝐶)
1817fveq2d 6336 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = (♯‘𝐶))
19 rabssab 3838 . . . . . . 7 {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ⊆ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
2019sseli 3746 . . . . . 6 (𝐶 ∈ {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} → 𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
2120, 3eleq2s 2867 . . . . 5 (𝐶𝑂𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀})
22 fveq2 6332 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐶 → (♯‘𝑏) = (♯‘𝐶))
2322eqeq1d 2772 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐶 → ((♯‘𝑏) = 𝑀 ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
24 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑏 → (♯‘𝑐) = (♯‘𝑏))
2524eqeq1d 2772 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑏 → ((♯‘𝑐) = 𝑀 ↔ (♯‘𝑏) = 𝑀))
2625cbvabv 2895 . . . . . 6 {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} = {𝑏 ∣ (♯‘𝑏) = 𝑀}
2723, 26elab2g 3502 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (𝐶 ∈ {𝑐 ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀} ↔ (♯‘𝐶) = 𝑀))
2821, 27mpbid 222 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘𝐶) = 𝑀)
2918, 28eqtrd 2804 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) = 𝑀)
30 fzfi 12978 . . . . 5 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin
31 hashssdif 13401 . . . . 5 (((1...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
3230, 15, 31sylancr 567 . . . 4 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)))
338nnnn0i 11501 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0
34 hashfz1 13337 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3533, 34mp1i 13 . . . . 5 (𝐶𝑂 → (♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) = (𝑀 + 𝑁))
3635, 28oveq12d 6810 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((♯‘(1...(𝑀 + 𝑁))) − (♯‘𝐶)) = ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀))
371nncni 11231 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℂ
382nncni 11231 . . . . . 6 𝑁 ∈ ℂ
39 pncan2 10489 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4037, 38, 39mp2an 664 . . . . 5 ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁
4140a1i 11 . . . 4 (𝐶𝑂 → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑀) = 𝑁)
4232, 36, 413eqtrd 2808 . . 3 (𝐶𝑂 → (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶)) = 𝑁)
4329, 42oveq12d 6810 . 2 (𝐶𝑂 → ((♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∩ 𝐶)) − (♯‘((1...(𝑀 + 𝑁)) ∖ 𝐶))) = (𝑀𝑁))
4411, 43eqtrd 2804 1 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(𝑀 + 𝑁)) = (𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  {cab 2756  {crab 3064  cdif 3718  cin 3720  wss 3721  𝒫 cpw 4295  cmpt 4861  cfv 6031  (class class class)co 6792  Fincfn 8108  cc 10135  1c1 10138   + caddc 10140  cmin 10467   / cdiv 10885  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  ...cfz 12532  chash 13320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-hash 13321
This theorem is referenced by:  ballotlem5  30895
  Copyright terms: Public domain W3C validator