Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlemfelz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlemfelz 30680
Description: (𝐹𝐶) has values in . (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotlemfval.c (𝜑𝐶𝑂)
ballotlemfval.j (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
ballotlemfelz (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝐽   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑐)   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝐽(𝑥,𝑐)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlemfelz
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . 3 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . 3 𝑁 ∈ ℕ
3 ballotth.o . . 3 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (#‘𝑐) = 𝑀}
4 ballotth.p . . 3 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((#‘𝑥) / (#‘𝑂)))
5 ballotth.f . . 3 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((#‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (#‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
6 ballotlemfval.c . . 3 (𝜑𝐶𝑂)
7 ballotlemfval.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7ballotlemfval 30679 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) = ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))))
9 fzfi 12811 . . . . . 6 (1...𝐽) ∈ Fin
10 inss1 3866 . . . . . 6 ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
11 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin)
129, 10, 11mp2an 708 . . . . 5 ((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin
13 hashcl 13185 . . . . 5 (((1...𝐽) ∩ 𝐶) ∈ Fin → (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0)
1412, 13ax-mp 5 . . . 4 (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℕ0
1514nn0zi 11440 . . 3 (#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ
16 difss 3770 . . . . . 6 ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)
17 ssfi 8221 . . . . . 6 (((1...𝐽) ∈ Fin ∧ ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ⊆ (1...𝐽)) → ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin)
189, 16, 17mp2an 708 . . . . 5 ((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin
19 hashcl 13185 . . . . 5 (((1...𝐽) ∖ 𝐶) ∈ Fin → (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0)
2018, 19ax-mp 5 . . . 4 (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℕ0
2120nn0zi 11440 . . 3 (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ
22 zsubcl 11457 . . 3 (((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) ∈ ℤ ∧ (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶)) ∈ ℤ) → ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ)
2315, 21, 22mp2an 708 . 2 ((#‘((1...𝐽) ∩ 𝐶)) − (#‘((1...𝐽) ∖ 𝐶))) ∈ ℤ
248, 23syl6eqel 2738 1 (𝜑 → ((𝐹𝐶)‘𝐽) ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1523  wcel 2030  {crab 2945  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  𝒫 cpw 4191  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  #chash 13157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-hash 13158
This theorem is referenced by:  ballotlemfc0  30682  ballotlemfcc  30683  ballotlemodife  30687  ballotlemic  30696  ballotlem1c  30697  ballotlemfrceq  30718  ballotlemfrcn0  30719
  Copyright terms: Public domain W3C validator