Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem4 30900
Description: If the first pick is a vote for B, A is not ahead throughout the count. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Nov-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
Assertion
Ref Expression
ballotlem4 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶𝐸))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂,𝑐   𝐹,𝑐,𝑖   𝐶,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐸(𝑥,𝑖,𝑐)   𝐹(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑁(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem4
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . . . 8 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . . . 8 𝑁 ∈ ℕ
3 nnaddcl 11244 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 672 . . . . . . 7 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5 elnnuz 11926 . . . . . . 7 ((𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ ↔ (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1))
64, 5mpbi 220 . . . . . 6 (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1)
7 eluzfz1 12555 . . . . . 6 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
86, 7ax-mp 5 . . . . 5 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))
9 0le1 10753 . . . . . . . . . 10 0 ≤ 1
10 0re 10242 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
11 1re 10241 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
1210, 11lenlti 10359 . . . . . . . . . 10 (0 ≤ 1 ↔ ¬ 1 < 0)
139, 12mpbi 220 . . . . . . . . 9 ¬ 1 < 0
14 ltsub13 10711 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0)))
1510, 10, 11, 14mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 (0 < (0 − 1) ↔ 1 < (0 − 0))
16 0m0e0 11332 . . . . . . . . . . 11 (0 − 0) = 0
1716breq2i 4794 . . . . . . . . . 10 (1 < (0 − 0) ↔ 1 < 0)
1815, 17bitri 264 . . . . . . . . 9 (0 < (0 − 1) ↔ 1 < 0)
1913, 18mtbir 312 . . . . . . . 8 ¬ 0 < (0 − 1)
20 1m1e0 11291 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 1) = 0
2120fveq2i 6335 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = ((𝐹𝐶)‘0)
22 ballotth.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
23 ballotth.p . . . . . . . . . . . 12 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
24 ballotth.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
251, 2, 22, 23, 24ballotlemfval0 30897 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘0) = 0)
2621, 25syl5eq 2817 . . . . . . . . . 10 (𝐶𝑂 → ((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) = 0)
2726oveq1d 6808 . . . . . . . . 9 (𝐶𝑂 → (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) = (0 − 1))
2827breq2d 4798 . . . . . . . 8 (𝐶𝑂 → (0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1) ↔ 0 < (0 − 1)))
2919, 28mtbiri 316 . . . . . . 7 (𝐶𝑂 → ¬ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
3029adantr 466 . . . . . 6 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
31 simpl 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 𝐶𝑂)
32 1nn 11233 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℕ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → 1 ∈ ℕ)
341, 2, 22, 23, 24, 31, 33ballotlemfp1 30893 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → ((¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)) ∧ (1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) + 1))))
3534simpld 482 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝑂 ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))) → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
368, 35mpan2 671 . . . . . . . 8 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3736imp 393 . . . . . . 7 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ((𝐹𝐶)‘1) = (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1))
3837breq2d 4798 . . . . . 6 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → (0 < ((𝐹𝐶)‘1) ↔ 0 < (((𝐹𝐶)‘(1 − 1)) − 1)))
3930, 38mtbird 314 . . . . 5 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1))
40 fveq2 6332 . . . . . . . 8 (𝑖 = 1 → ((𝐹𝐶)‘𝑖) = ((𝐹𝐶)‘1))
4140breq2d 4798 . . . . . . 7 (𝑖 = 1 → (0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)))
4241notbid 307 . . . . . 6 (𝑖 = 1 → (¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)))
4342rspcev 3460 . . . . 5 ((1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘1)) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
448, 39, 43sylancr 575 . . . 4 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
45 rexnal 3143 . . . 4 (∃𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ¬ 0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
4644, 45sylib 208 . . 3 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
47 ballotth.e . . . . 5 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
481, 2, 22, 23, 24, 47ballotleme 30898 . . . 4 (𝐶𝐸 ↔ (𝐶𝑂 ∧ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖)))
4948simprbi 484 . . 3 (𝐶𝐸 → ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝐶)‘𝑖))
5046, 49nsyl 137 . 2 ((𝐶𝑂 ∧ ¬ 1 ∈ 𝐶) → ¬ 𝐶𝐸)
5150ex 397 1 (𝐶𝑂 → (¬ 1 ∈ 𝐶 → ¬ 𝐶𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  cdif 3720  cin 3722  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  cfv 6031  (class class class)co 6793  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   < clt 10276  cle 10277  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  chash 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-hash 13322
This theorem is referenced by:  ballotth  30939
  Copyright terms: Public domain W3C validator