Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ballotlem1ri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ballotlem1ri 30876
Description: When the vote on the first tie is for A, the first vote is also for A on the reverse counting. (Contributed by Thierry Arnoux, 18-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ballotth.m 𝑀 ∈ ℕ
ballotth.n 𝑁 ∈ ℕ
ballotth.o 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
ballotth.p 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
ballotth.f 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
ballotth.e 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
ballotth.mgtn 𝑁 < 𝑀
ballotth.i 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
ballotth.s 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
ballotth.r 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
Assertion
Ref Expression
ballotlem1ri (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐   𝑁,𝑐   𝑂,𝑐   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑖,𝑂   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑘,𝑂   𝑖,𝑐,𝐹,𝑘   𝐶,𝑖,𝑘   𝑖,𝐸,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐼,𝑐   𝐸,𝑐   𝑖,𝐼,𝑐   𝑆,𝑘,𝑖,𝑐   𝑅,𝑖,𝑘   𝑥,𝑐   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑐)   𝑃(𝑥,𝑖,𝑘,𝑐)   𝑅(𝑥,𝑐)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐼(𝑥)   𝑂(𝑥)

Proof of Theorem ballotlem1ri
StepHypRef Expression
1 ballotth.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ
2 ballotth.n . . . . . 6 𝑁 ∈ ℕ
3 nnaddcl 11205 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 710 . . . . 5 (𝑀 + 𝑁) ∈ ℕ
5 nnuz 11887 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5eleqtri 2825 . . . 4 (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1)
7 eluzfz1 12512 . . . 4 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
86, 7mp1i 13 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
9 ballotth.o . . . . . 6 𝑂 = {𝑐 ∈ 𝒫 (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ (♯‘𝑐) = 𝑀}
10 ballotth.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑥 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ ((♯‘𝑥) / (♯‘𝑂)))
11 ballotth.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑐𝑂 ↦ (𝑖 ∈ ℤ ↦ ((♯‘((1...𝑖) ∩ 𝑐)) − (♯‘((1...𝑖) ∖ 𝑐)))))
12 ballotth.e . . . . . 6 𝐸 = {𝑐𝑂 ∣ ∀𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁))0 < ((𝐹𝑐)‘𝑖)}
13 ballotth.mgtn . . . . . 6 𝑁 < 𝑀
14 ballotth.i . . . . . 6 𝐼 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ inf({𝑘 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∣ ((𝐹𝑐)‘𝑘) = 0}, ℝ, < ))
151, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14ballotlemiex 30843 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ ((𝐹𝐶)‘(𝐼𝐶)) = 0))
1615simpld 477 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)))
17 elfzle1 12508 . . . 4 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
1816, 17syl 17 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ≤ (𝐼𝐶))
19 ballotth.s . . . 4 𝑆 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ (𝑖 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ↦ if(𝑖 ≤ (𝐼𝑐), (((𝐼𝑐) + 1) − 𝑖), 𝑖)))
20 ballotth.r . . . 4 𝑅 = (𝑐 ∈ (𝑂𝐸) ↦ ((𝑆𝑐) “ 𝑐))
211, 2, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 19, 20ballotlemrv1 30862 . . 3 ((𝐶 ∈ (𝑂𝐸) ∧ 1 ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 1 ≤ (𝐼𝐶)) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
228, 18, 21mpd3an23 1563 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶))
23 elfzelz 12506 . . . . . 6 ((𝐼𝐶) ∈ (1...(𝑀 + 𝑁)) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2416, 23syl 17 . . . . 5 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℤ)
2524zcnd 11646 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (𝐼𝐶) ∈ ℂ)
26 1cnd 10219 . . . 4 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → 1 ∈ ℂ)
2725, 26pncand 10556 . . 3 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (((𝐼𝐶) + 1) − 1) = (𝐼𝐶))
2827eleq1d 2812 . 2 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → ((((𝐼𝐶) + 1) − 1) ∈ 𝐶 ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
2922, 28bitrd 268 1 (𝐶 ∈ (𝑂𝐸) → (1 ∈ (𝑅𝐶) ↔ (𝐼𝐶) ∈ 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1620  wcel 2127  wral 3038  {crab 3042  cdif 3700  cin 3702  ifcif 4218  𝒫 cpw 4290   class class class wbr 4792  cmpt 4869  cima 5257  cfv 6037  (class class class)co 6801  infcinf 8500  cr 10098  0cc0 10099  1c1 10100   + caddc 10102   < clt 10237  cle 10238  cmin 10429   / cdiv 10847  cn 11183  cz 11540  cuz 11850  ...cfz 12490  chash 13282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-n0 11456  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-fz 12491  df-hash 13283
This theorem is referenced by:  ballotlem7  30877
  Copyright terms: Public domain W3C validator