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Theorem baerlem5alem2 37317
Description: Lemma for baerlem5a 37320. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
baerlem3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
baerlem3.m = (-g𝑊)
baerlem3.o 0 = (0g𝑊)
baerlem3.s = (LSSum‘𝑊)
baerlem3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
baerlem3.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
baerlem3.x (𝜑𝑋𝑉)
baerlem3.c (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
baerlem3.d (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
baerlem3.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
baerlem3.p + = (+g𝑊)
baerlem3.t · = ( ·𝑠𝑊)
baerlem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
baerlem3.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
baerlem3.a = (+g𝑅)
baerlem3.l 𝐿 = (-g𝑅)
baerlem3.q 𝑄 = (0g𝑅)
baerlem3.i 𝐼 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
baerlem5alem2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem baerlem5alem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑑 𝑒 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 baerlem3.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 baerlem3.p . . . . . . 7 + = (+g𝑊)
3 baerlem3.m . . . . . . 7 = (-g𝑊)
4 baerlem3.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
5 lveclmod 19154 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
64, 5syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 lmodabl 18958 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
86, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
9 baerlem3.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
10 baerlem3.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
12 baerlem3.z . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3619 . . . . . . 7 (𝜑𝑍𝑉)
141, 2, 3, 8, 9, 11, 13ablsubsub4 18270 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
1514sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑌) 𝑍)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
1615fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
171, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
186, 9, 11, 17syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
19 baerlem3.s . . . . . 6 = (LSSum‘𝑊)
20 baerlem3.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
211, 3, 19, 20lspsntrim 19146 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉𝑍𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
226, 18, 13, 21syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑌) 𝑍)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
2316, 22eqsstr3d 3673 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})))
241, 3, 8, 9, 13, 11ablsub32 18273 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = ((𝑋 𝑌) 𝑍))
2524, 14eqtrd 2685 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑌 + 𝑍)))
2625sneqd 4222 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑋 𝑍) 𝑌)} = {(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})
2726fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
281, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
296, 9, 13, 28syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
301, 3, 19, 20lspsntrim 19146 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
316, 29, 11, 30syl3anc 1366 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{((𝑋 𝑍) 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3227, 31eqsstr3d 3673 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})))
3323, 32ssind 3870 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ⊆ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
34 elin 3829 . . . . 5 (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
35 baerlem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
36 baerlem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑅)
37 baerlem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝑊)
381, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 18, 13lsmspsn 19132 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ↔ ∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))))
391, 2, 35, 36, 37, 19, 20, 6, 29, 11lsmspsn 19132 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌})) ↔ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))))
4038, 39anbi12d 747 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
4134, 40syl5bb 272 . . . 4 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ↔ (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))))
42 baerlem3.o . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
43 simp11 1111 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝜑)
4443, 4syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LVec)
4543, 9syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑋𝑉)
46 baerlem3.c . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
4743, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
48 baerlem3.d . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
4943, 48syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
5043, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
5143, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
52 baerlem3.a . . . . . . . . . . 11 = (+g𝑅)
53 baerlem3.l . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (-g𝑅)
54 baerlem3.q . . . . . . . . . . 11 𝑄 = (0g𝑅)
55 baerlem3.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (invg𝑅)
56 simp12l 1194 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑎𝐵)
57 simp12r 1195 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑏𝐵)
58 simp2l 1107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑑𝐵)
59 simp2r 1108 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑒𝐵)
60 simp13 1113 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)))
61 simp3 1083 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)))
621, 3, 42, 19, 20, 44, 45, 47, 49, 50, 51, 2, 37, 35, 36, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61baerlem5alem1 37314 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 = (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))))
6343, 6syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑊 ∈ LMod)
641, 2lmodvacl 18925 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
656, 11, 13, 64syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
661, 3lmodvsubcl 18956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
676, 9, 65, 66syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
6843, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
691, 37, 35, 36, 20, 63, 56, 68lspsneli 19049 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → (𝑎 · (𝑋 (𝑌 + 𝑍))) ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7062, 69eqeltrd 2730 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) ∧ (𝑑𝐵𝑒𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
71703exp 1283 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → ((𝑑𝐵𝑒𝐵) → (𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7271rexlimdvv 3066 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵) ∧ 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍))) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
73723exp 1283 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))))
7473rexlimdvv 3066 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) → (∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌)) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))))
7574impd 446 . . . 4 (𝜑 → ((∃𝑎𝐵𝑏𝐵 𝑗 = ((𝑎 · (𝑋 𝑌)) + (𝑏 · 𝑍)) ∧ ∃𝑑𝐵𝑒𝐵 𝑗 = ((𝑑 · (𝑋 𝑍)) + (𝑒 · 𝑌))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7641, 75sylbid 230 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) → 𝑗 ∈ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})))
7776ssrdv 3642 . 2 (𝜑 → (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))) ⊆ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))
7833, 77eqssd 3653 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) (𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) (𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cdif 3604  cin 3606  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Scalarcsca 15991   ·𝑠 cvsca 15992  0gc0g 16147  invgcminusg 17470  -gcsg 17471  LSSumclsm 18095  Abelcabl 18240  LModclmod 18911  LSpanclspn 19019  LVecclvec 19150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-subg 17638  df-cntz 17796  df-lsm 18097  df-cmn 18241  df-abl 18242  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lvec 19151
This theorem is referenced by:  baerlem5a  37320
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