Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axunprim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axunprim 31918
Description: ax-un 7100 without distinct variable conditions or defined symbols. (Contributed by Scott Fenton, 13-Oct-2010.)
Assertion
Ref Expression
axunprim ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)

Proof of Theorem axunprim
StepHypRef Expression
1 axunnd 9624 . 2 𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)
2 df-an 383 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
32exbii 1924 . . . . . . 7 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ∃𝑥 ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
4 exnal 1902 . . . . . . 7 (∃𝑥 ¬ (𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
53, 4bitri 264 . . . . . 6 (∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) ↔ ¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧))
65imbi1i 338 . . . . 5 ((∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ (¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
76albii 1895 . . . 4 (∀𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
87exbii 1924 . . 3 (∃𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ∃𝑥𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
9 df-ex 1853 . . 3 (∃𝑥𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
108, 9bitri 264 . 2 (∃𝑥𝑦(∃𝑥(𝑦𝑥𝑥𝑧) → 𝑦𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥))
111, 10mpbi 220 1 ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦(¬ ∀𝑥(𝑦𝑥 → ¬ 𝑥𝑧) → 𝑦𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  wal 1629  wex 1852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-reg 8657
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-br 4788  df-opab 4848  df-eprel 5163  df-fr 5209
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator