MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 26039
Description: Lemma for axsegcon 26049. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁,𝑖,𝑥   𝑡,𝐴,𝑖,𝑥   𝑡,𝐵,𝑖,𝑥   𝑡,𝐶,𝑖,𝑥   𝑡,𝐷,𝑖,𝑥

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 26023 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
213ad2antl1 1227 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3 fveere 26023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
433ad2antl2 1228 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
5 fveere 26023 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
653ad2antl3 1229 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10681 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10681 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
98ralrimiva 3118 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
10 eleenn 26018 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 mptelee 26017 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
13123ad2ant1 1154 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
149, 13mpbird 248 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 26024 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
16153ad2antl1 1227 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
17 fveecn 26024 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
18173ad2antl2 1228 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
19 fveecn 26024 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
20193ad2antl3 1229 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
21 1m0e1 11354 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2221oveq1i 6822 . . . . . . . . . . 11 ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (1 · (𝐵𝑖))
23 mulid2 10261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
24233ad2ant1 1154 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
2522, 24syl5eq 2820 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
26 subcl 10503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
27 subcl 10503 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
2826, 27sylan2 581 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
29283impb 1134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
3029mul02d 10457 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = 0)
3125, 30oveq12d 6830 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = ((𝐵𝑖) + 0))
32 addid1 10439 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
33323ad2ant1 1154 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
3431, 33eqtr2d 2809 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3635ralrimiva 3118 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3718, 20subcld 10615 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
3816, 37nncand 10620 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
3938oveq1d 6827 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
4039sumeq2dv 14663 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
41 0elunit 12517 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
42 fveq1 6347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖))
43 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
44 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
45 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑖))
4644, 45oveq12d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
4743, 46oveq12d 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
48 eqid 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))
49 ovex 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5142, 50sylan9eq 2828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5251oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5352oveq2d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
5453eqeq2d 2784 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5554ralbidva 3137 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5651oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5756oveq1d 6827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5857sumeq2dv 14663 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5958eqeq1d 2776 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6055, 59anbi12d 617 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
61 oveq2 6820 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
6261oveq1d 6827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 0) · (𝐵𝑖)))
63 oveq1 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
6462, 63oveq12d 6830 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
6564eqeq2d 2784 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6665ralbidv 3138 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6766anbi1d 616 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
6860, 67rspc2ev 3480 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 0 ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6941, 68mp3an2 1563 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 854 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
71703expb 1140 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7271adantll 694 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
73 fveq1 6347 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖))
7473oveq2d 6828 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
7574oveq1d 6827 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))))
7675eqeq2d 2784 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7776ralbidv 3138 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7877anbi1d 616 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
79782rexbidv 3209 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8072, 79syl5ibr 237 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8180imp 394 1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 383  w3a 1098   = wceq 1634  wcel 2148  wral 3064  wrex 3065  cmpt 4876  cfv 6042  (class class class)co 6812  cc 10157  cr 10158  0cc0 10159  1c1 10160   + caddc 10162   · cmul 10164  cmin 10489  cn 11243  2c2 11293  [,]cicc 12402  ...cfz 12555  cexp 13089  Σcsu 14646  𝔼cee 26010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-iun 4667  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-er 7917  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-nn 11244  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-icc 12406  df-fz 12556  df-seq 13031  df-sum 14647  df-ee 26013
This theorem is referenced by:  axsegcon  26049
  Copyright terms: Public domain W3C validator