MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axsegconlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axsegconlem1 25842
Description: Lemma for axsegcon 25852. Handle the degenerate case. (Contributed by Scott Fenton, 7-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axsegconlem1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑁,𝑖,𝑥   𝑡,𝐴,𝑖,𝑥   𝑡,𝐵,𝑖,𝑥   𝑡,𝐶,𝑖,𝑥   𝑡,𝐷,𝑖,𝑥

Proof of Theorem axsegconlem1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveere 25826 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
213ad2antl1 1243 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
3 fveere 25826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
433ad2antl2 1244 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑘) ∈ ℝ)
5 fveere 25826 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
653ad2antl3 1245 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑘) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 10496 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) ∈ ℝ)
82, 7resubcld 10496 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
98ralrimiva 2995 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ)
10 eleenn 25821 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
11 mptelee 25820 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
13123ad2ant1 1102 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ∀𝑘 ∈ (1...𝑁)((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) ∈ ℝ))
149, 13mpbird 247 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25827 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
16153ad2antl1 1243 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) ∈ ℂ)
17 fveecn 25827 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
18173ad2antl2 1244 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
19 fveecn 25827 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
20193ad2antl3 1245 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐷𝑖) ∈ ℂ)
21 1m0e1 11169 . . . . . . . . . . . 12 (1 − 0) = 1
2221oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (1 · (𝐵𝑖))
23 mulid2 10076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
24233ad2ant1 1102 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (1 · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
2522, 24syl5eq 2697 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((1 − 0) · (𝐵𝑖)) = (𝐵𝑖))
26 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
27 subcl 10318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
2826, 27sylan2 490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ ((𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
29283impb 1279 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ ℂ)
3029mul02d 10272 . . . . . . . . . 10 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = 0)
3125, 30oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = ((𝐵𝑖) + 0))
32 addid1 10254 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝑖) ∈ ℂ → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
33323ad2ant1 1102 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐵𝑖) + 0) = (𝐵𝑖))
3431, 33eqtr2d 2686 . . . . . . . 8 (((𝐵𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐷𝑖) ∈ ℂ) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3516, 18, 20, 34syl3anc 1366 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3635ralrimiva 2995 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
3718, 20subcld 10430 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)) ∈ ℂ)
3816, 37nncand 10435 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
3938oveq1d 6705 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = (((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
4039sumeq2dv 14477 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))
41 0elunit 12328 . . . . . . 7 0 ∈ (0[,]1)
42 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (𝑥𝑖) = ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖))
43 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑖))
44 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐶𝑘) = (𝐶𝑖))
45 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑖 → (𝐷𝑘) = (𝐷𝑖))
4644, 45oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)) = ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))
4743, 46oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑖 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
48 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))
49 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))) ∈ V
5047, 48, 49fvmpt 6321 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (1...𝑁) → ((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘))))‘𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5142, 50sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝑖) = ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))
5251oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝑡 · (𝑥𝑖)) = (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5352oveq2d 6706 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
5453eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5554ralbidva 3014 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
5651oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖)) = ((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
5756oveq1d 6705 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = (((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5857sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2))
5958eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → (Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2) ↔ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6055, 59anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
61 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 0 → (1 − 𝑡) = (1 − 0))
6261oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) = ((1 − 0) · (𝐵𝑖)))
63 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 0 → (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))) = (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))
6462, 63oveq12d 6708 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 0 → (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))))
6564eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6665ralbidv 3015 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖)))))))
6766anbi1d 741 . . . . . . . 8 (𝑡 = 0 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
6860, 67rspc2ev 3355 . . . . . . 7 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 0 ∈ (0[,]1) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
6941, 68mp3an2 1452 . . . . . 6 (((𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑘) − (𝐷𝑘)))) ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 0) · (𝐵𝑖)) + (0 · ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − ((𝐵𝑖) − ((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7014, 36, 40, 69syl12anc 1364 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
71703expb 1285 . . . 4 ((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
7271adantll 750 . . 3 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
73 fveq1 6228 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖))
7473oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → ((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) = ((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)))
7574oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))))
7675eqeq2d 2661 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7776ralbidv 3015 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖)))))
7877anbi1d 741 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
79782rexbidv 3086 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐵𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8072, 79syl5ibr 236 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2))))
8180imp 444 1 ((𝐴 = 𝐵 ∧ ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁)))) → ∃𝑥 ∈ (𝔼‘𝑁)∃𝑡 ∈ (0[,]1)(∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝐴𝑖)) + (𝑡 · (𝑥𝑖))) ∧ Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑖) − (𝑥𝑖))↑2) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑁)(((𝐶𝑖) − (𝐷𝑖))↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cmpt 4762  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  cexp 12900  Σcsu 14460  𝔼cee 25813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-sum 14461  df-ee 25816
This theorem is referenced by:  axsegcon  25852
  Copyright terms: Public domain W3C validator