MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axmulass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axmulass 10178
Description: Multiplication of complex numbers is associative. Axiom 10 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-mulass 10202. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axmulass ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))

Proof of Theorem axmulass
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcnqs 10163 . 2 ℂ = ((R × R) / E )
2 mulcnsrec 10165 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨𝑧, 𝑤⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E )
3 mulcnsrec 10165 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E )
4 mulcnsrec 10165 . 2 (((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ([⟨((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))), ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤))⟩] E · [⟨𝑣, 𝑢⟩] E ) = [⟨((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))), ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢))⟩] E )
5 mulcnsrec 10165 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] E · [⟨((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))), ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))⟩] E ) = [⟨((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))), ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))⟩] E )
6 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑥R𝑧R) → (𝑥 ·R 𝑧) ∈ R)
7 m1r 10103 . . . . . 6 -1RR
8 mulclsr 10105 . . . . . 6 ((𝑦R𝑤R) → (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R)
9 mulclsr 10105 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑦 ·R 𝑤) ∈ R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
107, 8, 9sylancr 695 . . . . 5 ((𝑦R𝑤R) → (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R)
11 addclsr 10104 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤)) ∈ R) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
126, 10, 11syl2an 496 . . . 4 (((𝑥R𝑧R) ∧ (𝑦R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
1312an4s 901 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R)
14 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑦R𝑧R) → (𝑦 ·R 𝑧) ∈ R)
15 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑥R𝑤R) → (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R)
16 addclsr 10104 . . . . 5 (((𝑦 ·R 𝑧) ∈ R ∧ (𝑥 ·R 𝑤) ∈ R) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1714, 15, 16syl2anr 497 . . . 4 (((𝑥R𝑤R) ∧ (𝑦R𝑧R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1817an42s 902 . . 3 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R)
1913, 18jca 556 . 2 (((𝑥R𝑦R) ∧ (𝑧R𝑤R)) → (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ∈ R ∧ ((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ∈ R))
20 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑧R𝑣R) → (𝑧 ·R 𝑣) ∈ R)
21 mulclsr 10105 . . . . . 6 ((𝑤R𝑢R) → (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R)
22 mulclsr 10105 . . . . . 6 ((-1RR ∧ (𝑤 ·R 𝑢) ∈ R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
237, 21, 22sylancr 695 . . . . 5 ((𝑤R𝑢R) → (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R)
24 addclsr 10104 . . . . 5 (((𝑧 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)) ∈ R) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2520, 23, 24syl2an 496 . . . 4 (((𝑧R𝑣R) ∧ (𝑤R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
2625an4s 901 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R)
27 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑤R𝑣R) → (𝑤 ·R 𝑣) ∈ R)
28 mulclsr 10105 . . . . 5 ((𝑧R𝑢R) → (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R)
29 addclsr 10104 . . . . 5 (((𝑤 ·R 𝑣) ∈ R ∧ (𝑧 ·R 𝑢) ∈ R) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3027, 28, 29syl2anr 497 . . . 4 (((𝑧R𝑢R) ∧ (𝑤R𝑣R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3130an42s 902 . . 3 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R)
3226, 31jca 556 . 2 (((𝑧R𝑤R) ∧ (𝑣R𝑢R)) → (((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ R ∧ ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ R))
33 ovex 6821 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
34 ovex 6821 . . . 4 (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
35 ovex 6821 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) ∈ V
36 addcomsr 10108 . . . 4 (𝑓 +R 𝑔) = (𝑔 +R 𝑓)
37 addasssr 10109 . . . 4 ((𝑓 +R 𝑔) +R ) = (𝑓 +R (𝑔 +R ))
38 ovex 6821 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) ∈ V
3933, 34, 35, 36, 37, 38caov42 7012 . . 3 (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
40 distrsr 10112 . . . 4 (𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
41 distrsr 10112 . . . . . 6 (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
4241oveq2i 6802 . . . . 5 (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
43 distrsr 10112 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
4442, 43eqtri 2791 . . . 4 (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
4540, 44oveq12i 6803 . . 3 ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))))
46 vex 3351 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
477elexi 3361 . . . . . 6 -1R ∈ V
48 vex 3351 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
49 mulcomsr 10110 . . . . . 6 (𝑓 ·R 𝑔) = (𝑔 ·R 𝑓)
50 distrsr 10112 . . . . . 6 (𝑓 ·R (𝑔 +R )) = ((𝑓 ·R 𝑔) +R (𝑓 ·R ))
51 ovex 6821 . . . . . 6 (𝑦 ·R 𝑤) ∈ V
52 vex 3351 . . . . . 6 𝑣 ∈ V
53 mulasssr 10111 . . . . . 6 ((𝑓 ·R 𝑔) ·R ) = (𝑓 ·R (𝑔 ·R ))
5446, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53caovdilem 7014 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)))
55 mulasssr 10111 . . . . . . 7 ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))
5655oveq2i 6802 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
5756oveq2i 6802 . . . . 5 ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑣))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
5854, 57eqtri 2791 . . . 4 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣))))
59 vex 3351 . . . . . . 7 𝑦 ∈ V
60 vex 3351 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
61 vex 3351 . . . . . . 7 𝑢 ∈ V
6259, 46, 48, 49, 50, 60, 61, 53caovdilem 7014 . . . . . 6 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
6362oveq2i 6802 . . . . 5 (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
64 distrsr 10112 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
65 ovex 6821 . . . . . . . 8 (𝑤 ·R 𝑢) ∈ V
6647, 46, 65, 49, 53caov12 7007 . . . . . . 7 (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
6766oveq2i 6802 . . . . . 6 ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (-1R ·R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
6864, 67eqtri 2791 . . . . 5 (-1R ·R ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
6963, 68eqtri 2791 . . . 4 (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢)) = ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
7058, 69oveq12i 6803 . . 3 ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = (((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))) +R ((-1R ·R (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑢))) +R (𝑥 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
7139, 45, 703eqtr4ri 2802 . 2 ((((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑣) +R (-1R ·R (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (-1R ·R (𝑦 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))))
72 ovex 6821 . . . 4 (𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) ∈ V
73 ovex 6821 . . . 4 (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))) ∈ V
74 ovex 6821 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) ∈ V
75 ovex 6821 . . . 4 (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) ∈ V
7672, 73, 74, 36, 37, 75caov42 7012 . . 3 (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
77 distrsr 10112 . . . 4 (𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
78 distrsr 10112 . . . 4 (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)))
7977, 78oveq12i 6803 . . 3 ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢)))) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R ((𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢))))
8059, 46, 48, 49, 50, 60, 52, 53caovdilem 7014 . . . 4 (((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) = ((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣)))
8146, 47, 48, 49, 50, 51, 61, 53caovdilem 7014 . . . . 5 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)))
82 mulasssr 10111 . . . . . . . 8 ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢) = (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))
8382oveq2i 6802 . . . . . . 7 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8447, 59, 65, 49, 53caov12 7007 . . . . . . 7 (-1R ·R (𝑦 ·R (𝑤 ·R 𝑢))) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8583, 84eqtri 2791 . . . . . 6 (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢)) = (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))
8685oveq2i 6802 . . . . 5 ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (-1R ·R ((𝑦 ·R 𝑤) ·R 𝑢))) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
8781, 86eqtri 2791 . . . 4 (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢) = ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢))))
8880, 87oveq12i 6803 . . 3 ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = (((𝑦 ·R (𝑧 ·R 𝑣)) +R (𝑥 ·R (𝑤 ·R 𝑣))) +R ((𝑥 ·R (𝑧 ·R 𝑢)) +R (𝑦 ·R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))))
8976, 79, 883eqtr4ri 2802 . 2 ((((𝑦 ·R 𝑧) +R (𝑥 ·R 𝑤)) ·R 𝑣) +R (((𝑥 ·R 𝑧) +R (-1R ·R (𝑦 ·R 𝑤))) ·R 𝑢)) = ((𝑦 ·R ((𝑧 ·R 𝑣) +R (-1R ·R (𝑤 ·R 𝑢)))) +R (𝑥 ·R ((𝑤 ·R 𝑣) +R (𝑧 ·R 𝑢))))
901, 2, 3, 4, 5, 19, 32, 71, 89ecovass 8005 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = (𝐴 · (𝐵 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143   E cep 5160  ccnv 5247  (class class class)co 6791  Rcnr 9887  -1Rcm1r 9890   +R cplr 9891   ·R cmr 9892  cc 10134   · cmul 10141
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-inf2 8700
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-int 4609  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-1o 7711  df-oadd 7715  df-omul 7716  df-er 7894  df-ec 7896  df-qs 7900  df-ni 9894  df-pli 9895  df-mi 9896  df-lti 9897  df-plpq 9930  df-mpq 9931  df-ltpq 9932  df-enq 9933  df-nq 9934  df-erq 9935  df-plq 9936  df-mq 9937  df-1nq 9938  df-rq 9939  df-ltnq 9940  df-np 10003  df-1p 10004  df-plp 10005  df-mp 10006  df-ltp 10007  df-enr 10077  df-nr 10078  df-plr 10079  df-mr 10080  df-m1r 10084  df-c 10142  df-mul 10148
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator