MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem8 26049
Description: Lemma for axlowdim 26061. Calculate the value of 𝑃 at three. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem7.1 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem8 (𝑃‘3) = -1

Proof of Theorem axlowdimlem8
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem7.1 . . 3 𝑃 = ({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))
21fveq1i 6354 . 2 (𝑃‘3) = (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3)
3 3re 11306 . . . . 5 3 ∈ ℝ
43elexi 3353 . . . 4 3 ∈ V
5 negex 10491 . . . 4 -1 ∈ V
64, 5fnsn 6107 . . 3 {⟨3, -1⟩} Fn {3}
7 c0ex 10246 . . . . 5 0 ∈ V
87fconst 6252 . . . 4 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0}
9 ffn 6206 . . . 4 ((((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {3})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}))
108, 9ax-mp 5 . . 3 (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3})
11 disjdif 4184 . . . 4 ({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅
124snid 4353 . . . 4 3 ∈ {3}
1311, 12pm3.2i 470 . . 3 (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})
14 fvun1 6432 . . 3 (({⟨3, -1⟩} Fn {3} ∧ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {3}) ∧ (({3} ∩ ((1...𝑁) ∖ {3})) = ∅ ∧ 3 ∈ {3})) → (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3))
156, 10, 13, 14mp3an 1573 . 2 (({⟨3, -1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {3}) × {0}))‘3) = ({⟨3, -1⟩}‘3)
164, 5fvsn 6611 . 2 ({⟨3, -1⟩}‘3) = -1
172, 15, 163eqtri 2786 1 (𝑃‘3) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cdif 3712  cun 3713  cin 3714  c0 4058  {csn 4321  cop 4327   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6814  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149  -cneg 10479  3c3 11283  ...cfz 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-fv 6057  df-ov 6817  df-neg 10481  df-2 11291  df-3 11292
This theorem is referenced by:  axlowdimlem16  26057
  Copyright terms: Public domain W3C validator