MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem5 25946
Description: Lemma for axlowdim 25961. Show that a particular union is a point in Euclidean space. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem4.1 𝐴 ∈ ℝ
axlowdimlem4.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))

Proof of Theorem axlowdimlem5
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem4.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℝ
2 axlowdimlem4.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
31, 2axlowdimlem4 25945 . . . . 5 {⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ
4 axlowdimlem1 25942 . . . . 5 ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ
53, 4pm3.2i 470 . . . 4 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ)
6 axlowdimlem2 25943 . . . 4 ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅
7 fun2 6180 . . . 4 ((({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩}:(1...2)⟶ℝ ∧ ((3...𝑁) × {0}):(3...𝑁)⟶ℝ) ∧ ((1...2) ∩ (3...𝑁)) = ∅) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ)
85, 6, 7mp2an 710 . . 3 ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ
9 axlowdimlem3 25944 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (1...𝑁) = ((1...2) ∪ (3...𝑁)))
109feq2d 6144 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):((1...2) ∪ (3...𝑁))⟶ℝ))
118, 10mpbiri 248 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ)
12 eluz2nn 11840 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
13 elee 25894 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
1412, 13syl 17 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})):(1...𝑁)⟶ℝ))
1511, 14mpbird 247 1 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ({⟨1, 𝐴⟩, ⟨2, 𝐵⟩} ∪ ((3...𝑁) × {0})) ∈ (𝔼‘𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cun 3678  cin 3679  c0 4023  {csn 4285  {cpr 4287  cop 4291   × cxp 5216  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  0cc0 10049  1c1 10050  cn 11133  2c2 11183  3c3 11184  cuz 11800  ...cfz 12440  𝔼cee 25888
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-ee 25891
This theorem is referenced by:  axlowdimlem6  25947  axlowdimlem17  25958  axlowdim2  25960  axlowdim  25961
  Copyright terms: Public domain W3C validator