MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem14 26034
Description: Lemma for axlowdim 26040. Take two possible 𝑄 from axlowdimlem10 26030. They are the same iff their distinguished values are the same. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axlowdimlem14.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
axlowdimlem14.2 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))

Proof of Theorem axlowdimlem14
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem14.1 . . . . . . 7 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21axlowdimlem10 26030 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁))
3 elee 25973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ))
52, 4mpbid 222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ)
6 ffn 6206 . . . . 5 (𝑄:(1...𝑁)⟶ℝ → 𝑄 Fn (1...𝑁))
75, 6syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑄 Fn (1...𝑁))
8 axlowdimlem14.2 . . . . . . 7 𝑅 = ({⟨(𝐽 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐽 + 1)}) × {0}))
98axlowdimlem10 26030 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁))
10 elee 25973 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
1110adantr 472 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑅 ∈ (𝔼‘𝑁) ↔ 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ))
129, 11mpbid 222 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ)
13 ffn 6206 . . . . 5 (𝑅:(1...𝑁)⟶ℝ → 𝑅 Fn (1...𝑁))
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → 𝑅 Fn (1...𝑁))
15 eqfnfv 6474 . . . 4 ((𝑄 Fn (1...𝑁) ∧ 𝑅 Fn (1...𝑁)) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
167, 14, 15syl2an 495 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
17163impdi 1444 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
18 fznatpl1 12588 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
19183adant3 1127 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
2019adantr 472 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁))
21 ax-1ne0 10197 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → 1 ≠ 0)
231axlowdimlem11 26031 . . . . . . . 8 (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1
2423a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 1)
25 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℤ)
2625zcnd 11675 . . . . . . . . . . . 12 (𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ∈ ℂ)
27 elfzelz 12535 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℤ)
2827zcnd 11675 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1)) → 𝐽 ∈ ℂ)
29 ax-1cn 10186 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
30 addcan2 10413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3129, 30mp3an3 1562 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 𝐽 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3226, 28, 31syl2an 495 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
33323adant1 1125 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) = (𝐽 + 1) ↔ 𝐼 = 𝐽))
3433necon3bid 2976 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1) ↔ 𝐼𝐽))
3534biimpar 503 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1))
368axlowdimlem12 26032 . . . . . . . 8 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝐼 + 1) ≠ (𝐽 + 1)) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3720, 35, 36syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑅‘(𝐼 + 1)) = 0)
3822, 24, 373netr4d 3009 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1)))
39 df-ne 2933 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
40 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
41 fveq2 6352 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑅𝑖) = (𝑅‘(𝐼 + 1)))
4240, 41neeq12d 2993 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑖) ≠ (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4339, 42syl5bbr 274 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))))
4443rspcev 3449 . . . . . 6 (((𝐼 + 1) ∈ (1...𝑁) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≠ (𝑅‘(𝐼 + 1))) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4520, 38, 44syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) ∧ 𝐼𝐽) → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4645ex 449 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼𝐽 → ∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
47 df-ne 2933 . . . 4 (𝐼𝐽 ↔ ¬ 𝐼 = 𝐽)
48 rexnal 3133 . . . 4 (∃𝑖 ∈ (1...𝑁) ¬ (𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) ↔ ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖))
4946, 47, 483imtr3g 284 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (¬ 𝐼 = 𝐽 → ¬ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖)))
5049con4d 114 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑄𝑖) = (𝑅𝑖) → 𝐼 = 𝐽))
5117, 50sylbid 230 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐼 ∈ (1...(𝑁 − 1)) ∧ 𝐽 ∈ (1...(𝑁 − 1))) → (𝑄 = 𝑅𝐼 = 𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  cdif 3712  cun 3713  {csn 4321  cop 4327   × cxp 5264   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cmin 10458  cn 11212  ...cfz 12519  𝔼cee 25967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-ee 25970
This theorem is referenced by:  axlowdimlem15  26035
  Copyright terms: Public domain W3C validator