MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axlowdimlem12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axlowdimlem12 26053
Description: Lemma for axlowdim 26061. Calculate the value of 𝑄 away from its distinguished point. (Contributed by Scott Fenton, 21-Apr-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
axlowdimlem10.1 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
Assertion
Ref Expression
axlowdimlem12 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄𝐾) = 0)

Proof of Theorem axlowdimlem12
StepHypRef Expression
1 axlowdimlem10.1 . . 3 𝑄 = ({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))
21fveq1i 6333 . 2 (𝑄𝐾) = (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾)
3 eldifsn 4451 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ↔ (𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)))
4 disjdif 4180 . . . . 5 ({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅
5 ovex 6822 . . . . . . 7 (𝐼 + 1) ∈ V
6 1ex 10236 . . . . . . 7 1 ∈ V
75, 6fnsn 6087 . . . . . 6 {⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)}
8 c0ex 10235 . . . . . . . 8 0 ∈ V
98fconst 6231 . . . . . . 7 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0}
10 ffn 6185 . . . . . . 7 ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}):((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})⟶{0} → (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})
12 fvun2 6412 . . . . . 6 (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} Fn {(𝐼 + 1)} ∧ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}) Fn ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) ∧ (({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}))) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
137, 11, 12mp3an12 1561 . . . . 5 ((({(𝐼 + 1)} ∩ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) = ∅ ∧ 𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)})) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
144, 13mpan 662 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾))
158fvconst2 6612 . . . 4 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → ((((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0})‘𝐾) = 0)
1614, 15eqtrd 2804 . . 3 (𝐾 ∈ ((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
173, 16sylbir 225 . 2 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (({⟨(𝐼 + 1), 1⟩} ∪ (((1...𝑁) ∖ {(𝐼 + 1)}) × {0}))‘𝐾) = 0)
182, 17syl5eq 2816 1 ((𝐾 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝐾 ≠ (𝐼 + 1)) → (𝑄𝐾) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  cdif 3718  cun 3719  cin 3720  c0 4061  {csn 4314  cop 4320   × cxp 5247   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  0cc0 10137  1c1 10138   + caddc 10140  ...cfz 12532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-mulcl 10199  ax-i2m1 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795
This theorem is referenced by:  axlowdimlem14  26055  axlowdimlem16  26057  axlowdimlem17  26058
  Copyright terms: Public domain W3C validator