HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  axhvcom-zf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axhvcom-zf 28180
Description: Derive axiom ax-hvcom 28198 from Hilbert space under ZF set theory. (Contributed by NM, 27-May-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
axhil.1 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
axhil.2 𝑈 ∈ CHilOLD
Assertion
Ref Expression
axhvcom-zf ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))

Proof of Theorem axhvcom-zf
StepHypRef Expression
1 axhil.2 . 2 𝑈 ∈ CHilOLD
2 df-hba 28166 . . . 4 ℋ = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3 axhil.1 . . . . 5 𝑈 = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
43fveq2i 6336 . . . 4 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
52, 4eqtr4i 2796 . . 3 ℋ = (BaseSet‘𝑈)
61hlnvi 28088 . . . 4 𝑈 ∈ NrmCVec
73, 6h2hva 28171 . . 3 + = ( +𝑣𝑈)
85, 7hlcom 28096 . 2 ((𝑈 ∈ CHilOLD𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
91, 8mp3an1 1559 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  cop 4323  cfv 6030  (class class class)co 6796  BaseSetcba 27781  CHilOLDchlo 28081  chil 28116   + cva 28117   · csm 28118  normcno 28120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795  df-cbn 28059  df-hlo 28082  df-hba 28166
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator