MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth2 9837
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 9835 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
2 vex 3341 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3 ssdomg 8165 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑧𝑦𝑧𝑦))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦𝑧𝑦)
54biantrurd 530 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧 ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑧)))
6 sbthb 8244 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑦𝑧) ↔ 𝑧𝑦)
75, 6syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
87orbi1d 741 . . . . . 6 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
98pm5.74i 260 . . . . 5 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
109albii 1894 . . . 4 (∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
11103anbi3i 1163 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
1211exbii 1921 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
131, 12mpbir 221 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072  wal 1628  wex 1851  wcel 2137  wral 3048  wrex 3049  Vcvv 3338  wss 3713   class class class wbr 4802  cen 8116  cdom 8117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-groth 9835
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-br 4803  df-opab 4863  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121
This theorem is referenced by:  axgroth3  9843
  Copyright terms: Public domain W3C validator