MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axgroth2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axgroth2 9607
Description: Alternate version of the Tarski-Grothendieck Axiom. (Contributed by NM, 18-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
axgroth2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣

Proof of Theorem axgroth2
StepHypRef Expression
1 ax-groth 9605 . 2 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
2 vex 3193 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3 ssdomg 7961 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ V → (𝑧𝑦𝑧𝑦))
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑦𝑧𝑦)
54biantrurd 529 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧 ↔ (𝑧𝑦𝑦𝑧)))
6 sbthb 8041 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦𝑦𝑧) ↔ 𝑧𝑦)
75, 6syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))
87orbi1d 738 . . . . . 6 (𝑧𝑦 → ((𝑦𝑧𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
98pm5.74i 260 . . . . 5 ((𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
109albii 1744 . . . 4 (∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦)))
11103anbi3i 1253 . . 3 ((𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ (𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
1211exbii 1771 . 2 (∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦))) ↔ ∃𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑧𝑦𝑧𝑦))))
131, 12mpbir 221 1 𝑦(𝑥𝑦 ∧ ∀𝑧𝑦 (∀𝑤(𝑤𝑧𝑤𝑦) ∧ ∃𝑤𝑦𝑣(𝑣𝑧𝑣𝑤)) ∧ ∀𝑧(𝑧𝑦 → (𝑦𝑧𝑧𝑦)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3a 1036  wal 1478  wex 1701  wcel 1987  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560   class class class wbr 4623  cen 7912  cdom 7913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-groth 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917
This theorem is referenced by:  axgroth3  9613
  Copyright terms: Public domain W3C validator