MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4uzlem 12777
Description: Lemma for axdc4uz 12778. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
axdc4uz.3 𝐴 ∈ V
axdc4uz.4 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
axdc4uz.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑦,𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑥   𝑔,𝑍,𝑛,𝑥   𝑔,𝐺,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑛)   𝑍(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℤ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
31, 2om2uzf1oi 12747 . . . . . . . . . 10 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 f1oeq3 6127 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = (ℤ𝑀) → (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀))
73, 6mpbir 221 . . . . . . . . 9 𝐺:ω–1-1-onto𝑍
8 f1of 6135 . . . . . . . . 9 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω⟶𝑍)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐺:ω⟶𝑍
109ffvelrni 6356 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝐺𝑛) ∈ 𝑍)
11 fovrn 6801 . . . . . . 7 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑍𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1210, 11syl3an2 1359 . . . . . 6 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
13123expb 1265 . . . . 5 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1413ralrimivva 2970 . . . 4 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
15 axdc4uz.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
1615fmpt2 7234 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1714, 16sylib 208 . . 3 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
18 axdc4uz.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
1918axdc4 9275 . . 3 ((𝐶𝐴𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
2017, 19sylan2 491 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
21 f1ocnv 6147 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:𝑍1-1-onto→ω)
22 f1of 6135 . . . . . . 7 (𝐺:𝑍1-1-onto→ω → 𝐺:𝑍⟶ω)
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 𝐺:𝑍⟶ω
24 fco 6056 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴𝐺:𝑍⟶ω) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
2523, 24mpan2 707 . . . . 5 (𝑓:ω⟶𝐴 → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
26253ad2ant1 1081 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
27 uzid 11699 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ (ℤ𝑀)
2928, 4eleqtrri 2699 . . . . . . 7 𝑀𝑍
30 fvco3 6273 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑀𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀)))
3123, 29, 30mp2an 708 . . . . . 6 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀))
321, 2om2uz0i 12741 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 𝑀
33 peano1 7082 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
34 f1ocnvfv 6531 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅))
357, 33, 34mp2an 708 . . . . . . . 8 ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅)
3632, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) = ∅
3736fveq2i 6192 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐺𝑀)) = (𝑓‘∅)
3831, 37eqtri 2643 . . . . 5 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘∅)
39 simp2 1061 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓‘∅) = 𝐶)
4038, 39syl5eq 2667 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶)
4123ffvelrni 6356 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ∈ ω)
4241adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ω)
43 suceq 5788 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → suc 𝑚 = suc (𝐺𝑘))
4443fveq2d 6193 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓‘suc 𝑚) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → 𝑚 = (𝐺𝑘))
46 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓𝑚) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
4745, 46oveq12d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) = ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))))
4844, 47eleq12d 2694 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐺𝑘) → ((𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) ↔ (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
4948rspcv 3303 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
5042, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
514peano2uzs 11739 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
52 fvco3 6273 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
5323, 51, 52sylancr 695 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
541, 2om2uzsuci 12742 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
5541, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
56 f1ocnvfv2 6530 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
577, 56mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
5857oveq1d 6662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1) = (𝑘 + 1))
5955, 58eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1))
60 peano2 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
6141, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
62 f1ocnvfv 6531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ suc (𝐺𝑘) ∈ ω) → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
637, 61, 62sylancr 695 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘))
6564fveq2d 6193 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
6653, 65eqtr2d 2656 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
6766adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
68 ffvelrn 6355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ ω) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
6941, 68sylan2 491 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
70 fveq2 6189 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝐺𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝐺𝑘)))
7170oveq1d 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐺𝑘) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥))
72 oveq2 6655 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓‘(𝐺𝑘)) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
73 ovex 6675 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) ∈ V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6793 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ ω ∧ (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
7542, 69, 74syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
76 fvco3 6273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7723, 76mpan 706 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7877eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
7957, 78oveq12d 6665 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8079adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8175, 80eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8267, 81eleq12d 2694 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8350, 82sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8483impancom 456 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8584ralrimiv 2964 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
86853adant2 1079 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
87 vex 3201 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
88 rdgfun 7509 . . . . . . . . 9 Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀)
89 omex 8537 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
90 resfunexg 6476 . . . . . . . . 9 ((Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V)
9188, 89, 90mp2an 708 . . . . . . . 8 (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V
922, 91eqeltri 2696 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
9392cnvex 7110 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
9487, 93coex 7115 . . . . 5 (𝑓𝐺) ∈ V
95 feq1 6024 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔:𝑍𝐴 ↔ (𝑓𝐺):𝑍𝐴))
96 fveq1 6188 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑀) = ((𝑓𝐺)‘𝑀))
9796eqeq1d 2623 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔𝑀) = 𝐶 ↔ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶))
98 fveq1 6188 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
99 fveq1 6188 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑘) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
10099oveq2d 6663 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
10198, 100eleq12d 2694 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
102101ralbidv 2985 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
10395, 97, 1023anbi123d 1398 . . . . 5 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))))
10494, 103spcev 3298 . . . 4 (((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10526, 40, 86, 104syl3anc 1325 . . 3 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
106105exlimiv 1857 . 2 (∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10720, 106syl 17 1 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wral 2911  Vcvv 3198  cdif 3569  c0 3913  𝒫 cpw 4156  {csn 4175  cmpt 4727   × cxp 5110  ccnv 5111  cres 5114  ccom 5116  suc csuc 5723  Fun wfun 5880  wf 5882  1-1-ontowf1o 5885  cfv 5886  (class class class)co 6647  cmpt2 6649  ωcom 7062  reccrdg 7502  1c1 9934   + caddc 9936  cz 11374  cuz 11684
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-dc 9265  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685
This theorem is referenced by:  axdc4uz  12778
  Copyright terms: Public domain W3C validator