MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axdc4uzlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axdc4uzlem 12989
Description: Lemma for axdc4uz 12990. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
axdc4uz.1 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2 𝑍 = (ℤ𝑀)
axdc4uz.3 𝐴 ∈ V
axdc4uz.4 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
axdc4uz.5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
Assertion
Ref Expression
axdc4uzlem ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝑛,𝑥,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘,𝑛,𝑥   𝑦,𝑔,𝑀,𝑘,𝑛,𝑥   𝑔,𝑍,𝑛,𝑥   𝑔,𝐺,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑔,𝑛)   𝑍(𝑦,𝑘)

Proof of Theorem axdc4uzlem
Dummy variables 𝑓 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axdc4uz.1 . . . . . . . . . . 11 𝑀 ∈ ℤ
2 axdc4uz.4 . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
31, 2om2uzf1oi 12959 . . . . . . . . . 10 𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)
4 axdc4uz.2 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 f1oeq3 6270 . . . . . . . . . . 11 (𝑍 = (ℤ𝑀) → (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀)))
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω–1-1-onto→(ℤ𝑀))
73, 6mpbir 221 . . . . . . . . 9 𝐺:ω–1-1-onto𝑍
8 f1of 6278 . . . . . . . . 9 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:ω⟶𝑍)
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝐺:ω⟶𝑍
109ffvelrni 6501 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ω → (𝐺𝑛) ∈ 𝑍)
11 fovrn 6950 . . . . . . 7 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑍𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1210, 11syl3an2 1166 . . . . . 6 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
13123expb 1112 . . . . 5 ((𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑥𝐴)) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1413ralrimivva 3119 . . . 4 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → ∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
15 axdc4uz.5 . . . . 5 𝐻 = (𝑛 ∈ ω, 𝑥𝐴 ↦ ((𝐺𝑛)𝐹𝑥))
1615fmpt2 7386 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ω ∀𝑥𝐴 ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) ∈ (𝒫 𝐴 ∖ {∅}) ↔ 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
1714, 16sylib 208 . . 3 (𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}) → 𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
18 axdc4uz.3 . . . 4 𝐴 ∈ V
1918axdc4 9479 . . 3 ((𝐶𝐴𝐻:(ω × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
2017, 19sylan2 572 . 2 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))))
21 f1ocnv 6290 . . . . . . 7 (𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝐺:𝑍1-1-onto→ω)
22 f1of 6278 . . . . . . 7 (𝐺:𝑍1-1-onto→ω → 𝐺:𝑍⟶ω)
237, 21, 22mp2b 10 . . . . . 6 𝐺:𝑍⟶ω
24 fco 6198 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴𝐺:𝑍⟶ω) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
2523, 24mpan2 663 . . . . 5 (𝑓:ω⟶𝐴 → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
26253ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓𝐺):𝑍𝐴)
27 uzid 11902 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
281, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ (ℤ𝑀)
2928, 4eleqtrri 2848 . . . . . . 7 𝑀𝑍
30 fvco3 6417 . . . . . . 7 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑀𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀)))
3123, 29, 30mp2an 664 . . . . . 6 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘(𝐺𝑀))
321, 2om2uz0i 12953 . . . . . . . 8 (𝐺‘∅) = 𝑀
33 peano1 7231 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
34 f1ocnvfv 6676 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ ∅ ∈ ω) → ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅))
357, 33, 34mp2an 664 . . . . . . . 8 ((𝐺‘∅) = 𝑀 → (𝐺𝑀) = ∅)
3632, 35ax-mp 5 . . . . . . 7 (𝐺𝑀) = ∅
3736fveq2i 6335 . . . . . 6 (𝑓‘(𝐺𝑀)) = (𝑓‘∅)
3831, 37eqtri 2792 . . . . 5 ((𝑓𝐺)‘𝑀) = (𝑓‘∅)
39 simp2 1130 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑓‘∅) = 𝐶)
4038, 39syl5eq 2816 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶)
4123ffvelrni 6501 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝐺𝑘) ∈ ω)
4241adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ω)
43 suceq 5933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → suc 𝑚 = suc (𝐺𝑘))
4443fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓‘suc 𝑚) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
45 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → 𝑚 = (𝐺𝑘))
46 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑓𝑚) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
4745, 46oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝐺𝑘) → (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) = ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))))
4844, 47eleq12d 2843 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝐺𝑘) → ((𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) ↔ (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
4948rspcv 3454 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
5042, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘)))))
514peano2uzs 11943 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑘 + 1) ∈ 𝑍)
52 fvco3 6417 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ (𝑘 + 1) ∈ 𝑍) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
5323, 51, 52sylancr 567 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) = (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))))
541, 2om2uzsuci 12954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
5541, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1))
56 f1ocnvfv2 6675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍𝑘𝑍) → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
577, 56mpan 662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝐺𝑘)) = 𝑘)
5857oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘)) + 1) = (𝑘 + 1))
5955, 58eqtrd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → (𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1))
60 peano2 7232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑘) ∈ ω → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
6141, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑍 → suc (𝐺𝑘) ∈ ω)
62 f1ocnvfv 6676 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:ω–1-1-onto𝑍 ∧ suc (𝐺𝑘) ∈ ω) → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
637, 61, 62sylancr 567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘suc (𝐺𝑘)) = (𝑘 + 1) → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘)))
6459, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝐺‘(𝑘 + 1)) = suc (𝐺𝑘))
6564fveq2d 6336 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺‘(𝑘 + 1))) = (𝑓‘suc (𝐺𝑘)))
6653, 65eqtr2d 2805 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝑍 → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
6766adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘suc (𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
68 ffvelrn 6500 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝐺𝑘) ∈ ω) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
6941, 68sylan2 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴)
70 fveq2 6332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝐺𝑘) → (𝐺𝑛) = (𝐺‘(𝐺𝑘)))
7170oveq1d 6807 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝐺𝑘) → ((𝐺𝑛)𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥))
72 oveq2 6800 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑓‘(𝐺𝑘)) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹𝑥) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
73 ovex 6822 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) ∈ V
7471, 72, 15, 73ovmpt2 6942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺𝑘) ∈ ω ∧ (𝑓‘(𝐺𝑘)) ∈ 𝐴) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
7542, 69, 74syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))))
76 fvco3 6417 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺:𝑍⟶ω ∧ 𝑘𝑍) → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7723, 76mpan 662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘𝑘) = (𝑓‘(𝐺𝑘)))
7877eqcomd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘𝑍 → (𝑓‘(𝐺𝑘)) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
7957, 78oveq12d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝑘𝑍 → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8079adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺‘(𝐺𝑘))𝐹(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8175, 80eqtrd 2804 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
8267, 81eleq12d 2843 . . . . . . . 8 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → ((𝑓‘suc (𝐺𝑘)) ∈ ((𝐺𝑘)𝐻(𝑓‘(𝐺𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8350, 82sylibd 229 . . . . . . 7 ((𝑓:ω⟶𝐴𝑘𝑍) → (∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚)) → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8483impancom 439 . . . . . 6 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → (𝑘𝑍 → ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
8584ralrimiv 3113 . . . . 5 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
86853adant2 1124 . . . 4 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
87 vex 3352 . . . . . 6 𝑓 ∈ V
88 rdgfun 7664 . . . . . . . . 9 Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀)
89 omex 8703 . . . . . . . . 9 ω ∈ V
90 resfunexg 6622 . . . . . . . . 9 ((Fun rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ∧ ω ∈ V) → (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V)
9188, 89, 90mp2an 664 . . . . . . . 8 (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) ∈ V
922, 91eqeltri 2845 . . . . . . 7 𝐺 ∈ V
9392cnvex 7259 . . . . . 6 𝐺 ∈ V
9487, 93coex 7264 . . . . 5 (𝑓𝐺) ∈ V
95 feq1 6166 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔:𝑍𝐴 ↔ (𝑓𝐺):𝑍𝐴))
96 fveq1 6331 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑀) = ((𝑓𝐺)‘𝑀))
9796eqeq1d 2772 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔𝑀) = 𝐶 ↔ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶))
98 fveq1 6331 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔‘(𝑘 + 1)) = ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)))
99 fveq1 6331 . . . . . . . . 9 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑔𝑘) = ((𝑓𝐺)‘𝑘))
10099oveq2d 6808 . . . . . . . 8 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) = (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))
10198, 100eleq12d 2843 . . . . . . 7 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
102101ralbidv 3134 . . . . . 6 (𝑔 = (𝑓𝐺) → (∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘)) ↔ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))))
10395, 97, 1023anbi123d 1546 . . . . 5 (𝑔 = (𝑓𝐺) → ((𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))) ↔ ((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘)))))
10494, 103spcev 3449 . . . 4 (((𝑓𝐺):𝑍𝐴 ∧ ((𝑓𝐺)‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 ((𝑓𝐺)‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹((𝑓𝐺)‘𝑘))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10526, 40, 86, 104syl3anc 1475 . . 3 ((𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
106105exlimiv 2009 . 2 (∃𝑓(𝑓:ω⟶𝐴 ∧ (𝑓‘∅) = 𝐶 ∧ ∀𝑚 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑚) ∈ (𝑚𝐻(𝑓𝑚))) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
10720, 106syl 17 1 ((𝐶𝐴𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍𝐴 ∧ (𝑔𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  cdif 3718  c0 4061  𝒫 cpw 4295  {csn 4314  cmpt 4861   × cxp 5247  ccnv 5248  cres 5251  ccom 5253  suc csuc 5868  Fun wfun 6025  wf 6027  1-1-ontowf1o 6030  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794  ωcom 7211  reccrdg 7657  1c1 10138   + caddc 10140  cz 11578  cuz 11887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-dc 9469  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888
This theorem is referenced by:  axdc4uz  12990
  Copyright terms: Public domain W3C validator