Theorem axdc4uz 12969

Description: A version of axdc4 9462 that works on an upper set of integers instead of ω. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
axdc4uz.1	⊢ 𝑀 ∈ ℤ
axdc4uz.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
axdc4uz	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Distinct variable groups:   𝑔,𝑘,𝐴   𝐶,𝑔   𝑔,𝐹,𝑘   𝑔,𝑀,𝑘   𝑔,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑉(𝑔,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem axdc4uz

Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2820	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐶 ∈ 𝑓 ↔ 𝐶 ∈ 𝐴))
2		xpeq2 5278	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑍 × 𝑓) = (𝑍 × 𝐴))
3		pweq 4297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝐴)
4	3	difeq1d 3862	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝒫 𝑓 ∖ {∅}) = (𝒫 𝐴 ∖ {∅}))
5	2, 4	feq23d 6193	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅}) ↔ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})))
6	1, 5	anbi12d 749	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) ↔ (𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅}))))
7		feq3 6181	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑔:𝑍⟶𝑓 ↔ 𝑔:𝑍⟶𝐴))
8	7	3anbi1d 1544	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → ((𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ (𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
9	8	exbidv 1991	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))) ↔ ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
10	6, 9	imbi12d 333	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))) ↔ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))))
11		axdc4uz.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 ∈ ℤ
12		axdc4uz.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
13		vex 3335	. . . 4 ⊢ 𝑓 ∈ V
14		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)
15		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥)) = (𝑛 ∈ ω, 𝑥 ∈ 𝑓 ↦ (((rec((𝑦 ∈ V ↦ (𝑦 + 1)), 𝑀) ↾ ω)‘𝑛)𝐹𝑥))
16	11, 12, 13, 14, 15	axdc4uzlem 12968	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑓 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝑓)⟶(𝒫 𝑓 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝑓 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))
17	10, 16	vtoclg 3398	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘)))))
18	17	3impib 1108	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹:(𝑍 × 𝐴)⟶(𝒫 𝐴 ∖ {∅})) → ∃𝑔(𝑔:𝑍⟶𝐴 ∧ (𝑔‘𝑀) = 𝐶 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑍 (𝑔‘(𝑘 + 1)) ∈ (𝑘𝐹(𝑔‘𝑘))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1624  ∃wex 1845   ∈ wcel 2131  ∀wral 3042  Vcvv 3332   ∖ cdif 3704  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {csn 4313   ↦ cmpt 4873   × cxp 5256   ↾ cres 5260  ⟶wf 6037  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807  ωcom 7222  reccrdg 7666  1c1 10121   + caddc 10123  ℤcz 11561  ℤ_≥cuz 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-dc 9452  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872

This theorem is referenced by:  bcthlem5  23317  sdclem1  33844