Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem11 26075
 Description: Lemma for axcont 26077. Eliminate the hypotheses from axcontlem10 26074. (Contributed by Scott Fenton, 20-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
axcontlem11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑥   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑁,𝑏,𝑥,𝑦   𝑈,𝑏,𝑥,𝑦   𝑍,𝑏,𝑥,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem axcontlem11
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑝 𝑞 𝑟 𝑡 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opeq2 4541 . . . . 5 (𝑞 = 𝑝 → ⟨𝑍, 𝑞⟩ = ⟨𝑍, 𝑝⟩)
21breq2d 4799 . . . 4 (𝑞 = 𝑝 → (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ↔ 𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩))
3 breq1 4790 . . . 4 (𝑞 = 𝑝 → (𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩ ↔ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩))
42, 3orbi12d 904 . . 3 (𝑞 = 𝑝 → ((𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩) ↔ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)))
54cbvrabv 3349 . 2 {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
6 eqid 2771 . . 3 {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑗)) + (𝑟 · (𝑈𝑗)))))} = {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑗)) + (𝑟 · (𝑈𝑗)))))}
76axcontlem1 26065 . 2 {⟨𝑧, 𝑟⟩ ∣ (𝑧 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑟 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑧𝑗) = (((1 − 𝑟) · (𝑍𝑗)) + (𝑟 · (𝑈𝑗)))))} = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ {𝑞 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑞⟩ ∨ 𝑞 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)} ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
85, 7axcontlem10 26074 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ⊆ (𝔼‘𝑁) ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑥 Btwn ⟨𝑍, 𝑦⟩)) ∧ ((𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑍𝑈)) → ∃𝑏 ∈ (𝔼‘𝑁)∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝑏 Btwn ⟨𝑥, 𝑦⟩)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065   ⊆ wss 3723  ∅c0 4063  ⟨cop 4323   class class class wbr 4787  {copab 4847  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   + caddc 10145   · cmul 10147  +∞cpnf 10277   − cmin 10472  ℕcn 11226  [,)cico 12382  ...cfz 12533  𝔼cee 25989   Btwn cbtwn 25990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-er 7900  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-z 11585  df-uz 11894  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-ee 25992  df-btwn 25993 This theorem is referenced by:  axcontlem12  26076
 Copyright terms: Public domain W3C validator