Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccdom 39730
Description: Relax the constraint on ax-cc to dominance instead of equinumerosity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccdom.1 (𝜑𝑋 ≼ ω)
axccdom.2 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccdom (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑋,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑓)

Proof of Theorem axccdom
Dummy variables 𝑔 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ∈ Fin)
2 simpr 476 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧𝑋)
3 axccdom.2 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
43adantlr 751 . . 3 (((𝜑𝑋 ∈ Fin) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
51, 2, 4choicefi 39706 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6 axccdom.1 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ≼ ω)
76adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≼ ω)
8 isfinite2 8259 . . . . . . 7 (𝑋 ≺ ω → 𝑋 ∈ Fin)
98con3i 150 . . . . . 6 𝑋 ∈ Fin → ¬ 𝑋 ≺ ω)
109adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ¬ 𝑋 ≺ ω)
117, 10jca 553 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
12 bren2 8028 . . . 4 (𝑋 ≈ ω ↔ (𝑋 ≼ ω ∧ ¬ 𝑋 ≺ ω))
1311, 12sylibr 224 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → 𝑋 ≈ ω)
14 ctex 8012 . . . . . . 7 (𝑋 ≼ ω → 𝑋 ∈ V)
156, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ∈ V)
17 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → 𝑋 ≈ ω)
18 breq1 4688 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≈ ω ↔ 𝑋 ≈ ω))
19 raleq 3168 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2019exbidv 1890 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑋 → (∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2118, 20imbi12d 333 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ↔ (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))))
22 ax-cc 9295 . . . . . 6 (𝑥 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2321, 22vtoclg 3297 . . . . 5 (𝑋 ∈ V → (𝑋 ≈ ω → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)))
2416, 17, 23sylc 65 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
2515mptexd 6528 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
2625adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V)
27 fvex 6239 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔𝑧) ∈ V
2827rgenw 2953 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V
29 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
3029fnmpt 6058 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑋 (𝑔𝑧) ∈ V → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋
3231a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋)
33 nfv 1883 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝜑
34 nfra1 2970 . . . . . . . . . . 11 𝑧𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
3533, 34nfan 1868 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
36 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋𝑧𝑋)
3727a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 → (𝑔𝑧) ∈ V)
3829fvmpt2 6330 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧𝑋 ∧ (𝑔𝑧) ∈ V) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
3936, 37, 38syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) = (𝑔𝑧))
41 rspa 2959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4241adantll 750 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
433adantlr 751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → 𝑧 ≠ ∅)
44 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧))
4542, 43, 44sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)
4640, 45eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) ∧ 𝑧𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4746ex 449 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → (𝑧𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
4835, 47ralrimi 2986 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)
4932, 48jca 553 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
50 fneq1 6017 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓 Fn 𝑋 ↔ (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋))
51 nfcv 2793 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝑓
52 nfmpt1 4780 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
5351, 52nfeq 2805 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))
54 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (𝑓𝑧) = ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧))
5554eleq1d 2715 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5653, 55ralbid 3012 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → (∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧 ↔ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧))
5750, 56anbi12d 747 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) → ((𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧) ↔ ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧)))
5857spcegv 3325 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) ∈ V → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧)) Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑔𝑧))‘𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
5926, 49, 58sylc 65 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6059adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑𝑋 ≈ ω) ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧)) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6160ex 449 . . . . 5 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∀𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6261exlimdv 1901 . . . 4 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → (∃𝑔𝑧𝑋 (𝑧 ≠ ∅ → (𝑔𝑧) ∈ 𝑧) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧)))
6324, 62mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑋 ≈ ω) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
6413, 63syldan 486 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
655, 64pm2.61dan 849 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (𝑓𝑧) ∈ 𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  Vcvv 3231  c0 3948   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Fn wfn 5921  cfv 5926  ωcom 7107  cen 7994  cdom 7995  csdm 7996  Fincfn 7997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cc 9295
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001
This theorem is referenced by:  subsaliuncl  40894
  Copyright terms: Public domain W3C validator