Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  axccd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axccd 39941
Description: An alternative version of the axiom of countable choice. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
axccd.1 (𝜑𝐴 ≈ ω)
axccd.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
axccd (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝜑,𝑓,𝑥

Proof of Theorem axccd
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axccd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ≈ ω)
2 encv 8116 . . . . . 6 (𝐴 ≈ ω → (𝐴 ∈ V ∧ ω ∈ V))
32simpld 476 . . . . 5 (𝐴 ≈ ω → 𝐴 ∈ V)
41, 3syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ V)
5 breq1 4787 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 ≈ ω ↔ 𝐴 ≈ ω))
6 raleq 3286 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
76exbidv 2001 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
85, 7imbi12d 333 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ↔ (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))))
9 ax-cc 9458 . . . . 5 (𝑦 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝑦 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
108, 9vtoclg 3415 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
114, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ≈ ω → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)))
121, 11mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
13 nfv 1994 . . . . . 6 𝑥𝜑
14 nfra1 3089 . . . . . 6 𝑥𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
1513, 14nfan 1979 . . . . 5 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
16 axccd.2 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
1716adantlr 686 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ≠ ∅)
18 rspa 3078 . . . . . . . 8 ((∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
1918adantll 685 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2017, 19mpd 15 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2120ex 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → (𝑥𝐴 → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2215, 21ralrimi 3105 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
2322ex 397 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∀𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2423eximdv 1997 . 2 (𝜑 → (∃𝑓𝑥𝐴 (𝑥 ≠ ∅ → (𝑓𝑥) ∈ 𝑥) → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥))
2512, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓𝑥𝐴 (𝑓𝑥) ∈ 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  c0 4061   class class class wbr 4784  cfv 6031  ωcom 7211  cen 8105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034  ax-cc 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-br 4785  df-opab 4845  df-xp 5255  df-rel 5256  df-en 8109
This theorem is referenced by:  axccd2  39942
  Copyright terms: Public domain W3C validator