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Theorem ax5seglem7 25860
Description: Lemma for ax5seg 25863. An algebraic calculation needed further down the line. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ax5seglem7.1 𝐴 ∈ ℂ
ax5seglem7.2 𝑇 ∈ ℂ
ax5seglem7.3 𝐶 ∈ ℂ
ax5seglem7.4 𝐷 ∈ ℂ
Assertion
Ref Expression
ax5seglem7 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))))

Proof of Theorem ax5seglem7
StepHypRef Expression
1 ax5seglem7.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
2 ax5seglem7.4 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
31, 2binom2subi 13023 . . . 4 ((𝐶𝐷)↑2) = (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2))
43oveq2i 6701 . . 3 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = (𝑇 · (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2)))
5 ax5seglem7.2 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
61sqcli 12984 . . . . 5 (𝐶↑2) ∈ ℂ
7 2cn 11129 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
81, 2mulcli 10083 . . . . . 6 (𝐶 · 𝐷) ∈ ℂ
97, 8mulcli 10083 . . . . 5 (2 · (𝐶 · 𝐷)) ∈ ℂ
106, 9subcli 10395 . . . 4 ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ
112sqcli 12984 . . . 4 (𝐷↑2) ∈ ℂ
125, 10, 11adddii 10088 . . 3 (𝑇 · (((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷))) + (𝐷↑2))) = ((𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
135, 6, 9subdii 10517 . . . 4 (𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) = ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))))
1413oveq1i 6700 . . 3 ((𝑇 · ((𝐶↑2) − (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
154, 12, 143eqtri 2677 . 2 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
16 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
1716, 5subcli 10395 . . . . . . . . . 10 (1 − 𝑇) ∈ ℂ
18 ax5seglem7.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℂ
1917, 18mulcli 10083 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · 𝐴) ∈ ℂ
2019sqcli 12984 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) ∈ ℂ
215, 1mulcli 10083 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2221, 2subcli 10395 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷) ∈ ℂ
2319, 22mulcli 10083 . . . . . . . . 9 (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) ∈ ℂ
247, 23mulcli 10083 . . . . . . . 8 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) ∈ ℂ
2520, 24addcli 10082 . . . . . . 7 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) ∈ ℂ
2621sqcli 12984 . . . . . . . 8 ((𝑇 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ
2726, 11addcli 10082 . . . . . . 7 (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) ∈ ℂ
2825, 27addcli 10082 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ
2921, 2mulcli 10083 . . . . . . 7 ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷) ∈ ℂ
307, 29mulcli 10083 . . . . . 6 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) ∈ ℂ
315, 6mulcli 10083 . . . . . . 7 (𝑇 · (𝐶↑2)) ∈ ℂ
325, 11mulcli 10083 . . . . . . 7 (𝑇 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ
3331, 32addcli 10082 . . . . . 6 ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ
34 subadd23 10331 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ) → (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))))
3528, 30, 33, 34mp3an 1464 . . . . 5 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
3635oveq1i 6700 . . . 4 ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
3719, 22binom2i 13014 . . . . . . 7 ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))↑2) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2))
3819, 21, 2addsubassi 10410 . . . . . . . 8 ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))
3938oveq1i 6700 . . . . . . 7 (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = ((((1 − 𝑇) · 𝐴) + ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))↑2)
4025, 27, 30addsubassi 10410 . . . . . . . 8 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
4121, 2binom2subi 13023 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (𝐷↑2))
4226, 11, 30addsubi 10411 . . . . . . . . . 10 ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (𝐷↑2))
4341, 42eqtr4i 2676 . . . . . . . . 9 (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2) = ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))
4443oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2)) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
4540, 44eqtr4i 2676 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)↑2))
4637, 39, 453eqtr4i 2683 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))
4718, 1binom2subi 13023 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝐶)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2))
4847oveq2i 6701 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) = (𝑇 · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2)))
4918sqcli 12984 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴↑2) ∈ ℂ
5018, 1mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
517, 50mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
5249, 51subcli 10395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
535, 52, 6adddii 10088 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))) + (𝐶↑2))) = ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2)))
5448, 53eqtri 2673 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) = ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2)))
5518, 2binom2subi 13023 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝐷)↑2) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2))
5654, 55oveq12i 6702 . . . . . . . . 9 ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2)))
575, 52mulcli 10083 . . . . . . . . . 10 (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
5818, 2mulcli 10083 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
597, 58mulcli 10083 . . . . . . . . . . 11 (2 · (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℂ
6049, 59subcli 10395 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) ∈ ℂ
6157, 31, 60, 11addsub4i 10415 . . . . . . . . 9 (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) + (𝑇 · (𝐶↑2))) − (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) + (𝐷↑2))) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))
6256, 61eqtri 2673 . . . . . . . 8 ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)) = (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))
6362oveq2i 6701 . . . . . . 7 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))) = ((1 − 𝑇) · (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6457, 60subcli 10395 . . . . . . . 8 ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) ∈ ℂ
6531, 11subcli 10395 . . . . . . . 8 ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) ∈ ℂ
6617, 64, 65adddii 10088 . . . . . . 7 ((1 − 𝑇) · (((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6716, 5, 65subdiri 10518 . . . . . . . . . 10 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) − (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))))
6865mulid2i 10081 . . . . . . . . . . 11 (1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))
695, 31, 11subdii 10517 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))
7068, 69oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 ((1 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) − (𝑇 · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2))))
715, 31mulcli 10083 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ
72 subsub3 10351 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝐷↑2)) ∈ ℂ) → (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7365, 71, 32, 72mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))
7431, 32, 11addsubi 10411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
7574oveq1i 6700 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = ((((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))
76 subsub4 10352 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ (𝐷↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) ∈ ℂ) → ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
7733, 11, 71, 76mp3an 1464 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝐷↑2)) − (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7873, 75, 773eqtr2i 2679 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)) − ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − (𝑇 · (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
7967, 70, 783eqtri 2677 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))
8079oveq2i 6701 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8117, 64mulcli 10083 . . . . . . . . 9 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ
8211, 71addcli 10082 . . . . . . . . 9 ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ
83 addsub12 10332 . . . . . . . . 9 ((((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ) → (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
8481, 33, 82, 83mp3an 1464 . . . . . . . 8 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8580, 84eqtri 2673 . . . . . . 7 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8663, 66, 853eqtri 2677 . . . . . 6 ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
8746, 86oveq12i 6702 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
8828, 30subcli 10395 . . . . . 6 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) ∈ ℂ
8981, 82subcli 10395 . . . . . 6 (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))) ∈ ℂ
9088, 33, 89addassi 10086 . . . . 5 ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
9187, 90eqtr4i 2676 . . . 4 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = ((((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) + ((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9233, 30subcli 10395 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) ∈ ℂ
9328, 89, 92add32i 10297 . . . 4 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9436, 91, 933eqtr4i 2683 . . 3 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))))
95 subsub2 10347 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) ∈ ℂ ∧ ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) ∈ ℂ ∧ ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) ∈ ℂ) → ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))))
9628, 82, 81, 95mp3an 1464 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))))))
9725, 26, 11addassi 10086 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2)))
9825, 26addcomi 10265 . . . . . . . . . 10 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) = (((𝑇 · 𝐶)↑2) + ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))))
995, 1sqmuli 12987 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 · 𝐶)↑2) = ((𝑇↑2) · (𝐶↑2))
1005sqvali 12983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇↑2) = (𝑇 · 𝑇)
101100oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇↑2) · (𝐶↑2)) = ((𝑇 · 𝑇) · (𝐶↑2))
1025, 5, 6mulassi 10087 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 · 𝑇) · (𝐶↑2)) = (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))
10399, 101, 1023eqtri 2677 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 · 𝐶)↑2) = (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))
10417, 18sqmuli 12987 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · (𝐴↑2))
10517sqvali 12983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 𝑇)↑2) = ((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇))
106105oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇)↑2) · (𝐴↑2)) = (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2))
10717, 17, 49mulassi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2)) = ((1 − 𝑇) · ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)))
10816, 5, 49subdiri 10518 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)) = ((1 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
10949mulid2i 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · (𝐴↑2)) = (𝐴↑2)
110109oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (𝐴↑2))) = ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
111108, 110eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2)) = ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))
112111oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 − 𝑇) · ((1 − 𝑇) · (𝐴↑2))) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
113107, 112eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · (1 − 𝑇)) · (𝐴↑2)) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
114104, 106, 1133eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) = ((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))))
1157, 19, 22mul12i 10269 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = (((1 − 𝑇) · 𝐴) · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
1167, 22mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) ∈ ℂ
11717, 18, 116mulassi 10087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1 − 𝑇) · 𝐴) · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((1 − 𝑇) · (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))))
11818, 7mulcomi 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 · 2) = (2 · 𝐴)
119118oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · 2) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))
12018, 7, 22mulassi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 · 2) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
121119, 120eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))
1227, 18mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · 𝐴) ∈ ℂ
123122, 21, 2subdii 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = (((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) − ((2 · 𝐴) · 𝐷))
124122, 5, 1mul12i 10269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) = (𝑇 · ((2 · 𝐴) · 𝐶))
1257, 18, 1mulassi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝐴) · 𝐶) = (2 · (𝐴 · 𝐶))
126125oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑇 · ((2 · 𝐴) · 𝐶)) = (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))
127124, 126eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) = (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))
1287, 18, 2mulassi 10087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 · 𝐴) · 𝐷) = (2 · (𝐴 · 𝐷))
129127, 128oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐴) · (𝑇 · 𝐶)) − ((2 · 𝐴) · 𝐷)) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
130123, 129eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
131121, 130eqtr3i 2675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
132131oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 − 𝑇) · (𝐴 · (2 · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
133115, 117, 1323eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . 14 (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))) = ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
134114, 133oveq12i 6702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
1355, 49mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ
13649, 135subcli 10395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) ∈ ℂ
1375, 51mulcli 10083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ
138137, 59subcli 10395 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) ∈ ℂ
13917, 136, 138adddii 10088 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = (((1 − 𝑇) · ((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2)))) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
1405, 49, 51subdii 10517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) = ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))
141140oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
142140, 57eqeltrri 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ
143 sub32 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) ∈ ℂ ∧ (2 · (𝐴 · 𝐷)) ∈ ℂ) → (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
14449, 142, 59, 143mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
145141, 144eqtr4i 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
146 subsub 10349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴↑2) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (𝐴↑2)) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) ∈ ℂ) → ((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
14749, 135, 137, 146mp3an 1464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))
148147oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴↑2) − ((𝑇 · (𝐴↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = ((((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))
149136, 137, 59addsubassi 10410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + (𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) = (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))
150145, 148, 1493eqtrri 2678 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
151150oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (𝑇 · (𝐴↑2))) + ((𝑇 · (2 · (𝐴 · 𝐶))) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
152134, 139, 1513eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
15357, 60negsubdi2i 10405 . . . . . . . . . . . . 13 -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))) = (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))))
154153oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 𝑇) · -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = ((1 − 𝑇) · (((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))) − (𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶))))))
15517, 64mulneg2i 10515 . . . . . . . . . . . 12 ((1 − 𝑇) · -((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) = -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
156152, 154, 1553eqtr2i 2679 . . . . . . . . . . 11 ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) = -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))
157103, 156oveq12i 6702 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 · 𝐶)↑2) + ((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷))))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) + -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
15871, 81negsubi 10397 . . . . . . . . . 10 ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) + -((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
15998, 157, 1583eqtri 2677 . . . . . . . . 9 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) = ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
160159oveq2i 6701 . . . . . . . 8 ((𝐷↑2) + (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2))) = ((𝐷↑2) + ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
16125, 26addcli 10082 . . . . . . . . 9 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) ∈ ℂ
162161, 11addcomi 10265 . . . . . . . 8 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = ((𝐷↑2) + (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)))
16311, 71, 81addsubassi 10410 . . . . . . . 8 (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) = ((𝐷↑2) + ((𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
164160, 162, 1633eqtr4i 2683 . . . . . . 7 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + ((𝑇 · 𝐶)↑2)) + (𝐷↑2)) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
16597, 164eqtr3i 2675 . . . . . 6 (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))
16682, 81subcli 10395 . . . . . . 7 (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))) ∈ ℂ
16728, 166subeq0i 10399 . . . . . 6 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = 0 ↔ (((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) = (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷)))))))
168165, 167mpbir 221 . . . . 5 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) − (((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))) − ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))))) = 0
16996, 168eqtr3i 2675 . . . 4 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) = 0
1705, 1, 2mulassi 10087 . . . . . . . 8 ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷) = (𝑇 · (𝐶 · 𝐷))
171170oveq2i 6701 . . . . . . 7 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) = (2 · (𝑇 · (𝐶 · 𝐷)))
1727, 5, 8mul12i 10269 . . . . . . 7 (2 · (𝑇 · (𝐶 · 𝐷))) = (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))
173171, 172eqtri 2673 . . . . . 6 (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)) = (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))
174173oveq2i 6701 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))))
1755, 9mulcli 10083 . . . . . 6 (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷))) ∈ ℂ
17631, 32, 175addsubi 10411 . . . . 5 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
177174, 176eqtri 2673 . . . 4 (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
178169, 177oveq12i 6702 . . 3 (((((((1 − 𝑇) · 𝐴)↑2) + (2 · (((1 − 𝑇) · 𝐴) · ((𝑇 · 𝐶) − 𝐷)))) + (((𝑇 · 𝐶)↑2) + (𝐷↑2))) + (((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐶)))) − ((𝐴↑2) − (2 · (𝐴 · 𝐷))))) − ((𝐷↑2) + (𝑇 · (𝑇 · (𝐶↑2)))))) + (((𝑇 · (𝐶↑2)) + (𝑇 · (𝐷↑2))) − (2 · ((𝑇 · 𝐶) · 𝐷)))) = (0 + (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))))
17931, 175subcli 10395 . . . . 5 ((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) ∈ ℂ
180179, 32addcli 10082 . . . 4 (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2))) ∈ ℂ
181180addid2i 10262 . . 3 (0 + (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
18294, 178, 1813eqtri 2677 . 2 ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2)))) = (((𝑇 · (𝐶↑2)) − (𝑇 · (2 · (𝐶 · 𝐷)))) + (𝑇 · (𝐷↑2)))
18315, 182eqtr4i 2676 1 (𝑇 · ((𝐶𝐷)↑2)) = ((((((1 − 𝑇) · 𝐴) + (𝑇 · 𝐶)) − 𝐷)↑2) + ((1 − 𝑇) · ((𝑇 · ((𝐴𝐶)↑2)) − ((𝐴𝐷)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  cmin 10304  -cneg 10305  2c2 11108  cexp 12900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  ax5seglem8  25861
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