MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax5seglem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax5seglem4 26011
Description: Lemma for ax5seg 26017. Given two distinct points, the scaling constant in a betweenness statement is nonzero. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑇 ≠ 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐵,𝑖   𝐶,𝑖   𝑖,𝑁   𝑇,𝑖

Proof of Theorem ax5seglem4
StepHypRef Expression
1 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = (1 − 0))
2 1m0e1 11323 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
31, 2syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 (𝑇 = 0 → (1 − 𝑇) = 1)
43oveq1d 6828 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → ((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) = (1 · (𝐴𝑖)))
5 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑇 = 0 → (𝑇 · (𝐶𝑖)) = (0 · (𝐶𝑖)))
64, 5oveq12d 6831 . . . . . . . 8 (𝑇 = 0 → (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
76eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑇 = 0 → ((𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
87ralbidv 3124 . . . . . 6 (𝑇 = 0 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
98biimpac 504 . . . . 5 ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
10 eqeefv 25982 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
11103adant1 1125 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
12113adant3r3 1200 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
13 eqcom 2767 . . . . . . . 8 (((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))))
14 simplr1 1261 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
15 fveecn 25981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
1614, 15sylancom 704 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴𝑖) ∈ ℂ)
17 simplr3 1265 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
18 fveecn 25981 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
1917, 18sylancom 704 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ ℂ)
20 mulid2 10230 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → (1 · (𝐴𝑖)) = (𝐴𝑖))
21 mul02 10406 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶𝑖) ∈ ℂ → (0 · (𝐶𝑖)) = 0)
2220, 21oveqan12d 6832 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = ((𝐴𝑖) + 0))
23 addid1 10408 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑖) ∈ ℂ → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((𝐴𝑖) + 0) = (𝐴𝑖))
2522, 24eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑖) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝑖) ∈ ℂ) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐴𝑖))
2616, 19, 25syl2anc 696 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐴𝑖))
2726eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → (((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖))) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐴𝑖) = (𝐵𝑖)))
2813, 27syl5rbbr 275 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑖 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ (𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
2928ralbidva 3123 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐴𝑖) = (𝐵𝑖) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
3012, 29bitrd 268 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = ((1 · (𝐴𝑖)) + (0 · (𝐶𝑖)))))
319, 30syl5ibr 236 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝑇 = 0) → 𝐴 = 𝐵))
3231expdimp 452 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝑇 = 0 → 𝐴 = 𝐵))
3332necon3d 2953 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖)))) → (𝐴𝐵𝑇 ≠ 0))
34333impia 1110 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ 𝐴𝐵) → 𝑇 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458  cn 11212  ...cfz 12519  𝔼cee 25967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-ltxr 10271  df-sub 10460  df-ee 25970
This theorem is referenced by:  ax5seg  26017
  Copyright terms: Public domain W3C validator