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Theorem ax5seglem3 26006
Description: Lemma for ax5seg 26013. Combine congruences for points on a line. (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ax5seglem3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝐶,𝑖,𝑗   𝐷,𝑖,𝑗   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐹,𝑗   𝑖,𝑁,𝑗   𝑆,𝑖,𝑗   𝑇,𝑖,𝑗

Proof of Theorem ax5seglem3
StepHypRef Expression
1 1re 10227 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
2 0re 10228 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
32, 1elicc2i 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇𝑇 ≤ 1))
43simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℝ)
5 resubcl 10533 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
76ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
873ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 − 𝑇) ∈ ℝ)
9 fzfid 12962 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1...𝑁) ∈ Fin)
10 ax5seglem3a 26005 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℝ ∧ ((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ))
1110simpld 477 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗)) ∈ ℝ)
1211resqcld 13225 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℝ)
139, 12fsumrecl 14660 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℝ)
1411sqge0d 13226 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))
159, 12, 14fsumge0 14722 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))
1613, 15resqrtcld 14351 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∈ ℝ)
17163ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∈ ℝ)
188, 17remulcld 10258 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) ∈ ℝ)
192, 1elicc2i 12428 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ (0[,]1) ↔ (𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆𝑆 ≤ 1))
2019simp1bi 1140 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0[,]1) → 𝑆 ∈ ℝ)
21 resubcl 10533 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (1 − 𝑆) ∈ ℝ)
221, 20, 21sylancr 698 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (0[,]1) → (1 − 𝑆) ∈ ℝ)
2322ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → (1 − 𝑆) ∈ ℝ)
24233ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 − 𝑆) ∈ ℝ)
2510simprd 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗)) ∈ ℝ)
2625resqcld 13225 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) ∈ ℝ)
279, 26fsumrecl 14660 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) ∈ ℝ)
2825sqge0d 13226 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ 𝑗 ∈ (1...𝑁)) → 0 ≤ (((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
299, 26, 28fsumge0 14722 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
3027, 29resqrtcld 14351 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ∈ ℝ)
31303ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ∈ ℝ)
3224, 31remulcld 10258 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) ∈ ℝ)
333simp3bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ≤ 1)
34 subge0 10729 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
351, 4, 34sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑇) ↔ 𝑇 ≤ 1))
3633, 35mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
3736ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
38373ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (1 − 𝑇))
3913, 15sqrtge0d 14354 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
40393ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
418, 17, 38, 40mulge0d 10792 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ ((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))))
4219simp3bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0[,]1) → 𝑆 ≤ 1)
43 subge0 10729 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 1))
441, 20, 43sylancr 698 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ (0[,]1) → (0 ≤ (1 − 𝑆) ↔ 𝑆 ≤ 1))
4542, 44mpbird 247 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ (1 − 𝑆))
4645ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 0 ≤ (1 − 𝑆))
47463ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (1 − 𝑆))
4827, 29sqrtge0d 14354 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → 0 ≤ (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
49483ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
5024, 31, 47, 49mulge0d 10792 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ ((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
51 resqrtth 14191 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))
5213, 15, 51syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))
53523ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))
5453oveq2d 6825 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇)↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2)) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
55 ax-1cn 10182 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
564recnd 10256 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 𝑇 ∈ ℂ)
5756ad2antrr 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℂ)
58573ad2ant2 1129 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 ∈ ℂ)
59 subcl 10468 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
6055, 58, 59sylancr 698 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 − 𝑇) ∈ ℂ)
6116recnd 10256 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
62613ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
6360, 62sqmuld 13210 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2)))
64 resqrtth 14191 . . . . . . . . . . 11 ((Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
6527, 29, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
66653ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
6766oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆)↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2)) = (((1 − 𝑆)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
6820recnd 10256 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆 ∈ (0[,]1) → 𝑆 ∈ ℂ)
6968ad2antlr 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 𝑆 ∈ ℂ)
70693ad2ant2 1129 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑆 ∈ ℂ)
71 subcl 10468 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (1 − 𝑆) ∈ ℂ)
7255, 70, 71sylancr 698 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 − 𝑆) ∈ ℂ)
7330recnd 10256 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
74733ad2ant1 1128 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ∈ ℂ)
7572, 74sqmuld 13210 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2) = (((1 − 𝑆)↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2)))
76 simp3r 1245 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)
77 simp122 1391 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁))
78 simp123 1392 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁))
79 simp132 1394 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))
80 simp133 1395 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))
81 brcgr 25975 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
8277, 78, 79, 80, 81syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
8376, 82mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
84 simp11 1246 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑁 ∈ ℕ)
85 simp121 1390 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁))
86 simp2ll 1307 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 ∈ (0[,]1))
87 simp2rl 1309 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))
88 ax5seglem2 26004 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
8984, 85, 78, 86, 87, 88syl122anc 1486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐵𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
90 simp131 1393 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁))
91 simp2lr 1308 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑆 ∈ (0[,]1))
92 simp2rr 1310 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))
93 ax5seglem2 26004 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) = (((1 − 𝑆)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
9484, 90, 80, 91, 92, 93syl122anc 1486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐸𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) = (((1 − 𝑆)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
9583, 89, 943eqtr3d 2798 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = (((1 − 𝑆)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
9667, 75, 953eqtr4d 2800 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2) = (((1 − 𝑇)↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
9754, 63, 963eqtr4d 2800 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))↑2) = (((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2))
9818, 32, 41, 50, 97sq11d 13235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = ((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
994ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 𝑇 ∈ ℝ)
100993ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑇 ∈ ℝ)
101100, 17remulcld 10258 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) ∈ ℝ)
10220ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 𝑆 ∈ ℝ)
1031023ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 𝑆 ∈ ℝ)
104103, 31remulcld 10258 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) ∈ ℝ)
1053simp2bi 1141 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑇)
106105ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 0 ≤ 𝑇)
1071063ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ 𝑇)
108100, 17, 107, 40mulge0d 10792 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))))
10919simp2bi 1141 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ (0[,]1) → 0 ≤ 𝑆)
110109ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → 0 ≤ 𝑆)
1111103ad2ant2 1129 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ 𝑆)
112103, 31, 111, 49mulge0d 10792 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → 0 ≤ (𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
11352oveq2d 6825 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((𝑇↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2)) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
1141133ad2ant1 1128 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2)) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
11558, 62sqmuld 13210 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))↑2) = ((𝑇↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))↑2)))
11666oveq2d 6825 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑆↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2)) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
11770, 74sqmuld 13210 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2) = ((𝑆↑2) · ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))↑2)))
118 simp3l 1244 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩)
119 brcgr 25975 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐸𝑗))↑2)))
12085, 77, 90, 79, 119syl22anc 1478 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐸𝑗))↑2)))
121118, 120mpbid 222 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐸𝑗))↑2))
122 ax5seglem1 26003 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
12384, 85, 78, 86, 87, 122syl122anc 1486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐵𝑗))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
124 ax5seglem1 26003 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝑆 ∈ (0[,]1) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐸𝑗))↑2) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
12584, 90, 80, 91, 92, 124syl122anc 1486 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐸𝑗))↑2) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
126121, 123, 1253eqtr3d 2798 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = ((𝑆↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
127116, 117, 1263eqtr4d 2800 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2) = ((𝑇↑2) · Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
128114, 115, 1273eqtr4d 2800 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))↑2) = ((𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))↑2))
129101, 104, 108, 112, 128sq11d 13235 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
13098, 129oveq12d 6827 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) + (𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))) = (((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) + (𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))))
13160, 58, 62adddird 10253 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (((1 − 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) + (𝑇 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))))
13272, 70, 74adddird 10253 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (((1 − 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) + (𝑆 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))))
133130, 131, 1323eqtr4d 2800 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
134 npcan 10478 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
13555, 56, 134sylancr 698 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
136135adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) → ((1 − 𝑇) + 𝑇) = 1)
137136oveq1d 6824 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))))
138137adantr 472 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))))
1391383ad2ant2 1129 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))))
14061mulid2d 10246 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
1411403ad2ant1 1128 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
142139, 141eqtrd 2790 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑇) + 𝑇) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)))
143 npcan 10478 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → ((1 − 𝑆) + 𝑆) = 1)
14455, 68, 143sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ (0[,]1) → ((1 − 𝑆) + 𝑆) = 1)
145144oveq1d 6824 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (0[,]1) → (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
146145ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) → (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
1471463ad2ant2 1129 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))))
14873mulid2d 10246 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
1491483ad2ant1 1128 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (1 · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
150147, 149eqtrd 2790 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (((1 − 𝑆) + 𝑆) · (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
151133, 142, 1503eqtr3d 2798 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
152 sqrt11 14198 . . . 4 (((Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) ∧ (Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
15313, 15, 27, 29, 152syl22anc 1478 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
1541533ad2ant1 1128 . 2 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → ((√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2)) = (√‘Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)) ↔ Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2)))
155151, 154mpbid 222 1 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐵 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐶 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ (𝐷 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐸 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝐹 ∈ (𝔼‘𝑁))) ∧ ((𝑇 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑆 ∈ (0[,]1)) ∧ (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐵𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝐴𝑖)) + (𝑇 · (𝐶𝑖))) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝐸𝑖) = (((1 − 𝑆) · (𝐷𝑖)) + (𝑆 · (𝐹𝑖))))) ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩Cgr⟨𝐷, 𝐸⟩ ∧ ⟨𝐵, 𝐶⟩Cgr⟨𝐸, 𝐹⟩)) → Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐴𝑗) − (𝐶𝑗))↑2) = Σ𝑗 ∈ (1...𝑁)(((𝐷𝑗) − (𝐹𝑗))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1628  wcel 2135  wral 3046  cop 4323   class class class wbr 4800  cfv 6045  (class class class)co 6809  cc 10122  cr 10123  0cc0 10124  1c1 10125   + caddc 10127   · cmul 10129  cle 10263  cmin 10454  cn 11208  2c2 11258  [,]cicc 12367  ...cfz 12515  cexp 13050  csqrt 14168  Σcsu 14611  𝔼cee 25963  Cgrccgr 25965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-8 2137  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pow 4988  ax-pr 5051  ax-un 7110  ax-inf2 8707  ax-cnex 10180  ax-resscn 10181  ax-1cn 10182  ax-icn 10183  ax-addcl 10184  ax-addrcl 10185  ax-mulcl 10186  ax-mulrcl 10187  ax-mulcom 10188  ax-addass 10189  ax-mulass 10190  ax-distr 10191  ax-i2m1 10192  ax-1ne0 10193  ax-1rid 10194  ax-rnegex 10195  ax-rrecex 10196  ax-cnre 10197  ax-pre-lttri 10198  ax-pre-lttrn 10199  ax-pre-ltadd 10200  ax-pre-mulgt0 10201  ax-pre-sup 10202
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1631  df-fal 1634  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-nel 3032  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rmo 3054  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-pss 3727  df-nul 4055  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4585  df-int 4624  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-tr 4901  df-id 5170  df-eprel 5175  df-po 5183  df-so 5184  df-fr 5221  df-se 5222  df-we 5223  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-pred 5837  df-ord 5883  df-on 5884  df-lim 5885  df-suc 5886  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-isom 6054  df-riota 6770  df-ov 6812  df-oprab 6813  df-mpt2 6814  df-om 7227  df-1st 7329  df-2nd 7330  df-wrecs 7572  df-recs 7633  df-rdg 7671  df-1o 7725  df-oadd 7729  df-er 7907  df-map 8021  df-en 8118  df-dom 8119  df-sdom 8120  df-fin 8121  df-sup 8509  df-oi 8576  df-card 8951  df-pnf 10264  df-mnf 10265  df-xr 10266  df-ltxr 10267  df-le 10268  df-sub 10456  df-neg 10457  df-div 10873  df-nn 11209  df-2 11267  df-3 11268  df-n0 11481  df-z 11566  df-uz 11876  df-rp 12022  df-ico 12370  df-icc 12371  df-fz 12516  df-fzo 12656  df-seq 12992  df-exp 13051  df-hash 13308  df-cj 14034  df-re 14035  df-im 14036  df-sqrt 14170  df-abs 14171  df-clim 14414  df-sum 14612  df-ee 25966  df-cgr 25968
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