MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ax1ne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ax1ne0 10182
Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 13 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1ne0 10206. (Contributed by NM, 19-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ax1ne0 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0
StepHypRef Expression
1 1ne0sr 10118 . . . 4 ¬ 1R = 0R
2 1sr 10103 . . . . . 6 1RR
32elexi 3362 . . . . 5 1R ∈ V
43eqresr 10159 . . . 4 (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
51, 4mtbir 312 . . 3 ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R
6 df-1 10145 . . . 4 1 = ⟨1R, 0R
7 df-0 10144 . . . 4 0 = ⟨0R, 0R
86, 7eqeq12i 2784 . . 3 (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
95, 8mtbir 312 . 2 ¬ 1 = 0
109neir 2945 1 1 ≠ 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1630  wne 2942  cop 4320  Rcnr 9888  0Rc0r 9889  1Rc1r 9890  0cc0 10137  1c1 10138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-ni 9895  df-pli 9896  df-mi 9897  df-lti 9898  df-plpq 9931  df-mpq 9932  df-ltpq 9933  df-enq 9934  df-nq 9935  df-erq 9936  df-plq 9937  df-mq 9938  df-1nq 9939  df-rq 9940  df-ltnq 9941  df-np 10004  df-1p 10005  df-plp 10006  df-ltp 10008  df-enr 10078  df-nr 10079  df-ltr 10082  df-0r 10083  df-1r 10084  df-0 10144  df-1 10145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator