Theorem atsseq 29540

Description: Two atoms in a subset relationship are equal. (Contributed by NM, 26-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
atsseq	⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem atsseq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		atne0 29538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ≠ 0ℋ)
2	1	ad2antrr 697	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ≠ 0ℋ)
3		atelch 29537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ HAtoms → 𝐴 ∈ Cℋ )
4		atss 29539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Cℋ ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
5	3, 4	sylan 561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ)))
6	5	imp 393	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 0ℋ))
7	6	ord 844	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → 𝐴 = 0ℋ))
8	7	necon1ad 2959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 0ℋ → 𝐴 = 𝐵))
9	2, 8	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	9	ex 397	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 = 𝐵))
11		eqimss 3804	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
12	10, 11	impbid1 215	1 ⊢ ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 826   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3721   C_ℋ cch 28120  0_ℋc0h 28126  HAtomscat 28156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215  ax-addf 10216  ax-mulf 10217  ax-hilex 28190  ax-hfvadd 28191  ax-hvcom 28192  ax-hvass 28193  ax-hv0cl 28194  ax-hvaddid 28195  ax-hfvmul 28196  ax-hvmulid 28197  ax-hvmulass 28198  ax-hvdistr1 28199  ax-hvdistr2 28200  ax-hvmul0 28201  ax-hfi 28270  ax-his1 28273  ax-his2 28274  ax-his3 28275  ax-his4 28276

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-icc 12386  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-top 20918  df-topon 20935  df-bases 20970  df-lm 21253  df-haus 21339  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789  df-ims 27790  df-hnorm 28159  df-hvsub 28162  df-hlim 28163  df-sh 28398  df-ch 28412  df-ch0 28444  df-cv 29472  df-at 29531

This theorem is referenced by:  atnemeq0  29570