Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i2 35667
 Description: Version of modular law pmod1i 35656 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl 468 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr2 1235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑋𝐵)
3 simpr1 1233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐴)
4 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
6 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 eqid 2771 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8 eqid 2771 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
94, 5, 6, 7, 8pmapjat1 35661 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
101, 2, 3, 9syl3anc 1476 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃)))
114, 6atbase 35098 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
123, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑃𝐵)
13 simpr3 1237 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → 𝑌𝐵)
14 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
15 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
164, 14, 5, 15, 7, 8hlmod1i 35664 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
171, 2, 12, 13, 16syl13anc 1478 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 𝑃)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑃))) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
1810, 17mpan2d 674 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌))))
19183impia 1109 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
2019eqcomd 2777 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 (𝑃 𝑌)) = ((𝑋 𝑃) 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  pmapcpmap 35305  +𝑃cpadd 35603 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604 This theorem is referenced by:  atmod2i2  35670  atmod3i2  35673  atmod4i2  35675  lhpmod2i2  35846  dihmeetlem7N  37120  dihjatc1  37121
 Copyright terms: Public domain W3C validator