Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod1i1m Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod1i1m 35665
Description: Version of modular law pmod1i 35655 that holds in a Hilbert lattice, when an element meets an atom. (Contributed by NM, 2-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod1i1m (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))

Proof of Theorem atmod1i1m
StepHypRef Expression
1 simpl1l 1279 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpr 479 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴)
3 simpl22 1323 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑌𝐵)
4 simpl23 1325 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → 𝑍𝐵)
5 simpl3 1232 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑃) 𝑍)
6 atmod.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
7 atmod.l . . . 4 = (le‘𝐾)
8 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
9 atmod.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
10 atmod.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
116, 7, 8, 9, 10atmod1i1 35664 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
121, 2, 3, 4, 5, 11syl131anc 1490 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
13 simp1l 1240 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ HL)
14 hlol 35169 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ OL)
1615adantr 472 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OL)
17 hllat 35171 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1813, 17syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝐾 ∈ Lat)
1918adantr 472 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
20 simpl22 1323 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
21 simpl23 1325 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → 𝑍𝐵)
226, 9latmcl 17273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
2319, 20, 21, 22syl3anc 1477 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
24 eqid 2760 . . . . 5 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
256, 8, 24olj02 35034 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)) = (𝑌 𝑍))
2616, 23, 25syl2anc 696 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)) = (𝑌 𝑍))
27 oveq1 6821 . . . 4 ((𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)))
2827adantl 473 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = ((0.‘𝐾) (𝑌 𝑍)))
29 oveq1 6821 . . . . . 6 ((𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = ((0.‘𝐾) 𝑌))
3029adantl 473 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = ((0.‘𝐾) 𝑌))
316, 8, 24olj02 35034 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑌𝐵) → ((0.‘𝐾) 𝑌) = 𝑌)
3216, 20, 31syl2anc 696 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((0.‘𝐾) 𝑌) = 𝑌)
3330, 32eqtrd 2794 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) 𝑌) = 𝑌)
3433oveq1d 6829 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍) = (𝑌 𝑍))
3526, 28, 343eqtr4d 2804 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) ∧ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
36 simp21 1249 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝑋𝐵)
37 simp1r 1241 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → 𝑃𝐴)
386, 9, 24, 10meetat2 35105 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)))
3915, 36, 37, 38syl3anc 1477 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) ∈ 𝐴 ∨ (𝑋 𝑃) = (0.‘𝐾)))
4012, 35, 39mpjaodan 862 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵) ∧ (𝑋 𝑃) 𝑍) → ((𝑋 𝑃) (𝑌 𝑍)) = (((𝑋 𝑃) 𝑌) 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  lecple 16170  joincjn 17165  meetcmee 17166  0.cp0 17258  Latclat 17266  OLcol 34982  Atomscatm 35071  HLchlt 35158
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-preset 17149  df-poset 17167  df-plt 17179  df-lub 17195  df-glb 17196  df-join 17197  df-meet 17198  df-p0 17260  df-lat 17267  df-clat 17329  df-oposet 34984  df-ol 34986  df-oml 34987  df-covers 35074  df-ats 35075  df-atl 35106  df-cvlat 35130  df-hlat 35159  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603
This theorem is referenced by:  dalawlem3  35680  dalawlem6  35683
  Copyright terms: Public domain W3C validator