Theorem atmod1i1 35665

Description: Version of modular law pmod1i 35656 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 11-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
atmod1i1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem atmod1i1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 468	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpr2 1235	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpr1 1233	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
8		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
9	4, 5, 6, 7, 8	pmapjat2 35662	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
10	1, 2, 3, 9	syl3anc 1476	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋)))
11	4, 6	atbase 35098	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
12		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	4, 12, 5, 13, 7, 8	hlmod1i 35664	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
15	11, 14	syl3anr1 1525	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑋)) = (((pmap‘𝐾)‘𝑃)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘𝑋))) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
16	10, 15	mpan2d 674	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ≤ 𝑌 → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌))))
17	16	3impia 1109	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌) = (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
18	17	eqcomd 2777	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝑃 ∨ 𝑋) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  meetcmee 17153  Atomscatm 35072  HLchlt 35159  pmapcpmap 35305  +_𝑃cpadd 35603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34985  df-ol 34987  df-oml 34988  df-covers 35075  df-ats 35076  df-atl 35107  df-cvlat 35131  df-hlat 35160  df-psubsp 35311  df-pmap 35312  df-padd 35604

This theorem is referenced by:  atmod1i1m  35666  atmod2i1  35669  atmod3i1  35672  atmod4i1  35674  dalawlem6  35684  dalawlem11  35689  dalawlem12  35690  cdleme11g  36074  cdlemednpq  36108  cdleme20c  36120  cdleme22e  36153  cdleme22eALTN  36154  cdleme35c  36260