Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atltcvr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atltcvr 35193
Description: An equivalence of less-than ordering and covers relation. (Contributed by NM, 7-Feb-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atltcvr.s < = (lt‘𝐾)
atltcvr.j = (join‘𝐾)
atltcvr.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
atltcvr.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atltcvr ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))

Proof of Theorem atltcvr
StepHypRef Expression
1 oveq1 6808 . . . . . 6 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 simpr3 1214 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
3 atltcvr.j . . . . . . . 8 = (join‘𝐾)
4 atltcvr.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
53, 4hlatjidm 35127 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
62, 5syldan 488 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
71, 6sylan9eqr 2804 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
87breq2d 4804 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃 < 𝑅))
9 hlatl 35119 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
109adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
11 simpr1 1210 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃𝐴)
12 atltcvr.s . . . . . . . 8 < = (lt‘𝐾)
1312, 4atnlt 35072 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃𝐴𝑅𝐴) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1410, 11, 2, 13syl3anc 1463 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ 𝑃 < 𝑅)
1514pm2.21d 118 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
1615adantr 472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < 𝑅𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
178, 16sylbid 230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
18 simpl 474 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
19 hllat 35122 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2019adantr 472 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 simpr2 1212 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
22 eqid 2748 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2322, 4atbase 35048 . . . . . . . 8 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
2522, 4atbase 35048 . . . . . . . 8 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
262, 25syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2722, 3latjcl 17223 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
2820, 24, 26, 27syl3anc 1463 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
29 eqid 2748 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3029, 12pltle 17133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3118, 11, 28, 30syl3anc 1463 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3231adantr 472 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
33 simpll 807 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simplr 809 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
35 simpr 479 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)))
3633, 34, 353jca 1403 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
3736anassrs 683 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))))
38 atltcvr.c . . . . . . 7 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
3929, 3, 38, 4atcvrj2 35191 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑄𝑅𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅))) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4037, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) ∧ 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅)) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅))
4140ex 449 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃(le‘𝐾)(𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4232, 41syld 47 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ 𝑄𝑅) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4317, 42pm2.61dane 3007 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) → 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
4422, 4atbase 35048 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4511, 44syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
4622, 12, 38cvrlt 35029 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)) → 𝑃 < (𝑄 𝑅))
4746ex 449 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4818, 45, 28, 47syl3anc 1463 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃𝐶(𝑄 𝑅) → 𝑃 < (𝑄 𝑅)))
4943, 48impbid 202 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑃 < (𝑄 𝑅) ↔ 𝑃𝐶(𝑄 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127  wne 2920   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  Basecbs 16030  lecple 16121  ltcplt 17113  joincjn 17116  Latclat 17217  ccvr 35021  Atomscatm 35022  AtLatcal 35023  HLchlt 35109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-preset 17100  df-poset 17118  df-plt 17130  df-lub 17146  df-glb 17147  df-join 17148  df-meet 17149  df-p0 17211  df-lat 17218  df-clat 17280  df-oposet 34935  df-ol 34937  df-oml 34938  df-covers 35025  df-ats 35026  df-atl 35057  df-cvlat 35081  df-hlat 35110
This theorem is referenced by:  atlt  35195  2atlt  35197  atexchltN  35199
  Copyright terms: Public domain W3C validator