Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atlltn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atlltn0 35088
 Description: A lattice element greater than zero is nonzero. (Contributed by NM, 1-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atlltne0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atlltne0.s < = (lt‘𝐾)
atlltne0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atlltn0 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))

Proof of Theorem atlltn0
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ AtLat)
2 atlltne0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 atlltne0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3atl0cl 35085 . . . 4 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
54adantr 472 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
6 simpr 479 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
7 eqid 2752 . . . 4 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 atlltne0.s . . . 4 < = (lt‘𝐾)
97, 8pltval 17153 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 0𝐵𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
101, 5, 6, 9syl3anc 1473 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
11 necom 2977 . . 3 (𝑋00𝑋)
122, 7, 3atl0le 35086 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
1312biantrurd 530 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0𝑋 ↔ ( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋)))
1411, 13syl5rbb 273 . 2 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → (( 0 (le‘𝐾)𝑋0𝑋) ↔ 𝑋0 ))
1510, 14bitrd 268 1 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 < 𝑋𝑋0 ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924   class class class wbr 4796  ‘cfv 6041  Basecbs 16051  lecple 16142  ltcplt 17134  0.cp0 17230  AtLatcal 35046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-plt 17151  df-glb 17168  df-p0 17232  df-atl 35080 This theorem is referenced by:  isat3  35089
 Copyright terms: Public domain W3C validator