Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atle 35237
Description: Any nonzero element has an atom under it. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atle.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atle.l = (le‘𝐾)
atle.z 0 = (0.‘𝐾)
atle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atle ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   0 ,𝑝

Proof of Theorem atle
StepHypRef Expression
1 simp1 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlop 35164 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
323ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝐾 ∈ OP)
4 atle.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 atle.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
64, 5op0cl 34986 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
73, 6syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0𝐵)
8 simp2 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋𝐵)
9 simp3 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 𝑋0 )
10 eqid 2770 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
114, 10, 5opltn0 34992 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
123, 8, 11syl2anc 565 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ( 0 (lt‘𝐾)𝑋𝑋0 ))
139, 12mpbird 247 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → 0 (lt‘𝐾)𝑋)
14 atle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 eqid 2770 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
16 atle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
174, 14, 10, 15, 16hlrelat 35203 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 0𝐵𝑋𝐵) ∧ 0 (lt‘𝐾)𝑋) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
181, 7, 8, 13, 17syl31anc 1478 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋))
19 simpl1 1226 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
20 hlol 35163 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2119, 20syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝐾 ∈ OL)
224, 16atbase 35091 . . . . . . . 8 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
2322adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → 𝑝𝐵)
244, 15, 5olj02 35028 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑝𝐵) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2521, 23, 24syl2anc 565 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → ( 0 (join‘𝐾)𝑝) = 𝑝)
2625breq1d 4794 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2726biimpd 219 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋𝑝 𝑋))
2827adantld 474 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ 𝑝𝐴) → (( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → 𝑝 𝑋))
2928reximdva 3164 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (∃𝑝𝐴 ( 0 (lt‘𝐾)( 0 (join‘𝐾)𝑝) ∧ ( 0 (join‘𝐾)𝑝) 𝑋) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋))
3018, 29mpd 15 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wrex 3061   class class class wbr 4784  cfv 6031  (class class class)co 6792  Basecbs 16063  lecple 16155  ltcplt 17148  joincjn 17151  0.cp0 17244  OPcops 34974  OLcol 34976  Atomscatm 35065  HLchlt 35152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-preset 17135  df-poset 17153  df-plt 17165  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-p0 17246  df-lat 17253  df-clat 17315  df-oposet 34978  df-ol 34980  df-oml 34981  df-covers 35068  df-ats 35069  df-atl 35100  df-cvlat 35124  df-hlat 35153
This theorem is referenced by:  1cvratex  35274  llnle  35319  lhpexle  35806
  Copyright terms: Public domain W3C validator