Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atl0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atl0cl 35112
Description: An atomic lattice has a zero element. We can use this in place of op0cl 34993 for lattices without orthocomplements. (Contributed by NM, 5-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
atl0cl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atl0cl.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atl0cl (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)

Proof of Theorem atl0cl
StepHypRef Expression
1 atl0cl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . 3 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
3 atl0cl.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
41, 2, 3p0val 17249 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → 0 = ((glb‘𝐾)‘𝐵))
5 id 22 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ AtLat)
6 eqid 2771 . . . 4 (lub‘𝐾) = (lub‘𝐾)
71, 6, 2atl0dm 35111 . . 3 (𝐾 ∈ AtLat → 𝐵 ∈ dom (glb‘𝐾))
81, 2, 5, 7glbcl 17206 . 2 (𝐾 ∈ AtLat → ((glb‘𝐾)‘𝐵) ∈ 𝐵)
94, 8eqeltrd 2850 1 (𝐾 ∈ AtLat → 0𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  Basecbs 16064  lubclub 17150  glbcglb 17151  0.cp0 17245  AtLatcal 35073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-glb 17183  df-p0 17247  df-atl 35107
This theorem is referenced by:  atlle0  35114  atlltn0  35115  isat3  35116  atnle0  35118  atlen0  35119  atcmp  35120  atcvreq0  35123  pmap0  35573  dia0  36862  dih0cnv  37093
  Copyright terms: Public domain W3C validator