Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  atcvatlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atcvatlem 29474
 Description: Lemma for atcvati 29475. (Contributed by NM, 27-Jun-2004.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
atoml.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
atcvatlem (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))

Proof of Theorem atcvatlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atoml.1 . . . 4 𝐴C
21hatomici 29448 . . 3 (𝐴 ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴)
3 nssne2 3768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → 𝑥𝐵)
43adantrl 754 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥𝐵)
5 atnemeq0 29466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐵 ↔ (𝑥𝐵) = 0))
64, 5syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0))
7 atelch 29433 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ HAtoms → 𝑥C )
8 cvp 29464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝑥 𝐵)))
9 atelch 29433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ HAtoms → 𝐵C )
10 chjcom 28595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C𝐵C ) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
119, 10sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 𝐵) = (𝐵 𝑥))
1211breq2d 4772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → (𝑥 (𝑥 𝐵) ↔ 𝑥 (𝐵 𝑥)))
138, 12bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
147, 13sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐵) = 0𝑥 (𝐵 𝑥)))
156, 14sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1615ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1716adantlr 753 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝑥 (𝐵 𝑥)))
1817imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝑥 (𝐵 𝑥))
19 chub1 28596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
209, 7, 19syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
21203adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥))
23 pssss 3809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶))
24 sstr 3717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑥𝐴𝐴 ⊆ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2523, 24sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2625adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶))
28 incom 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵𝑥) = (𝑥𝐵)
293, 5syl5ib 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3029ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
31303adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑥𝐵) = 0))
3231imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵) = 0)
3328, 32syl5eq 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐵𝑥) = 0)
3433adantrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵𝑥) = 0)
35 atexch 29470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
369, 35syl3an1 1472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3736adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ (𝐵𝑥) = 0) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)))
3827, 34, 37mp2and 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥))
39 atelch 29433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐶 ∈ HAtoms → 𝐶C )
40 simp1 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵C )
41 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐶C )
42 chjcl 28446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵C𝑥C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
43423adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝑥) ∈ C )
4440, 41, 433jca 1379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
459, 7, 39, 44syl3an 1481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
46 chlub 28598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝐶C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4745, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4847adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝑥) ∧ 𝐶 ⊆ (𝐵 𝑥)) ↔ (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥)))
4922, 38, 48mpbi2and 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) ⊆ (𝐵 𝑥))
50 chub1 28596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
51503adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → 𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶))
5251, 26anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)))
53 chjcl 28446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐵C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
54533adant2 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → (𝐵 𝐶) ∈ C )
55 chlub 28598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐵C𝑥C ∧ (𝐵 𝐶) ∈ C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5654, 55syld3an3 1484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵C𝑥C𝐶C ) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → ((𝐵 ⊆ (𝐵 𝐶) ∧ 𝑥 ⊆ (𝐵 𝐶)) ↔ (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶)))
5852, 57mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐵C𝑥C𝐶C ) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
599, 7, 39, 58syl3anl 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝑥) ⊆ (𝐵 𝐶))
6049, 59eqssd 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ ((𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6160anassrs 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐵 𝐶) = (𝐵 𝑥))
6261psseq2d 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6362ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ↔ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))))
6463ibd 258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))
6564exp32 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
66653expa 1111 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6766an32s 881 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6867com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)))))
6968imp45 624 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥))
70 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵C𝑥C ) → 𝑥C )
7170, 42jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵C𝑥C ) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
729, 7, 71syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ))
73 cvnbtwn3 29377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C𝐴C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
741, 73mp3an3 1526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → ((𝑥𝐴𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7574exp4a 634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7675com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → (𝑥 (𝐵 𝑥) → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥) → 𝐴 = 𝑥))))
7776imp4a 615 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥C ∧ (𝐵 𝑥) ∈ C ) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7872, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
7978adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥)))
8079imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8180adantrr 755 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → ((𝑥 (𝐵 𝑥) ∧ 𝐴 ⊊ (𝐵 𝑥)) → 𝐴 = 𝑥))
8218, 69, 81mp2and 717 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 = 𝑥)
8382eleq1d 2788 . . . . . . . . 9 ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → (𝐴 ∈ HAtoms ↔ 𝑥 ∈ HAtoms))
8483biimprcd 240 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ HAtoms → ((((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) ∧ (𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴))) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8584exp4c 637 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))))
8685pm2.43b 55 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝑥 ∈ HAtoms → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms)))
8786imp 444 . . . . 5 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → ((𝑥𝐴 ∧ (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) ∧ ¬ 𝐵𝐴)) → 𝐴 ∈ HAtoms))
8887exp4d 638 . . . 4 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ 𝑥 ∈ HAtoms) → (𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
8988rexlimdva 3133 . . 3 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (∃𝑥 ∈ HAtoms 𝑥𝐴 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
902, 89syl5 34 . 2 ((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) → (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))))
9190imp32 448 1 (((𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐶 ∈ HAtoms) ∧ (𝐴 ≠ 0𝐴 ⊊ (𝐵 𝐶))) → (¬ 𝐵𝐴𝐴 ∈ HAtoms))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∃wrex 3015   ∩ cin 3679   ⊆ wss 3680   ⊊ wpss 3681   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765   Cℋ cch 28016   ∨ℋ chj 28020  0ℋc0h 28022   ⋖ℋ ccv 28051  HAtomscat 28052 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cc 9370  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129  ax-hilex 28086  ax-hfvadd 28087  ax-hvcom 28088  ax-hvass 28089  ax-hv0cl 28090  ax-hvaddid 28091  ax-hfvmul 28092  ax-hvmulid 28093  ax-hvmulass 28094  ax-hvdistr1 28095  ax-hvdistr2 28096  ax-hvmul0 28097  ax-hfi 28166  ax-his1 28169  ax-his2 28170  ax-his3 28171  ax-his4 28172  ax-hcompl 28289 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-iin 4631  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-of 7014  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-supp 7416  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-2o 7681  df-oadd 7684  df-omul 7685  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-ixp 8026  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-fsupp 8392  df-fi 8433  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-acn 8881  df-cda 9103  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-4 11194  df-5 11195  df-6 11196  df-7 11197  df-8 11198  df-9 11199  df-n0 11406  df-z 11491  df-dec 11607  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-icc 12296  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-hash 13233  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-struct 15982  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-ress 15988  df-plusg 16077  df-mulr 16078  df-starv 16079  df-sca 16080  df-vsca 16081  df-ip 16082  df-tset 16083  df-ple 16084  df-ds 16087  df-unif 16088  df-hom 16089  df-cco 16090  df-rest 16206  df-topn 16207  df-0g 16225  df-gsum 16226  df-topgen 16227  df-pt 16228  df-prds 16231  df-xrs 16285  df-qtop 16290  df-imas 16291  df-xps 16293  df-mre 16369  df-mrc 16370  df-acs 16372  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-submnd 17458  df-mulg 17663  df-cntz 17871  df-cmn 18316  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-fbas 19866  df-fg 19867  df-cnfld 19870  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-cld 20946  df-ntr 20947  df-cls 20948  df-nei 21025  df-cn 21154  df-cnp 21155  df-lm 21156  df-haus 21242  df-tx 21488  df-hmeo 21681  df-fil 21772  df-fm 21864  df-flim 21865  df-flf 21866  df-xms 22247  df-ms 22248  df-tms 22249  df-cfil 23174  df-cau 23175  df-cmet 23176  df-grpo 27577  df-gid 27578  df-ginv 27579  df-gdiv 27580  df-ablo 27629  df-vc 27644  df-nv 27677  df-va 27680  df-ba 27681  df-sm 27682  df-0v 27683  df-vs 27684  df-nmcv 27685  df-ims 27686  df-dip 27786  df-ssp 27807  df-ph 27898  df-cbn 27949  df-hnorm 28055  df-hba 28056  df-hvsub 28058  df-hlim 28059  df-hcau 28060  df-sh 28294  df-ch 28308  df-oc 28339  df-ch0 28340  df-shs 28397  df-span 28398  df-chj 28399  df-chsup 28400  df-pjh 28484  df-cv 29368  df-at 29427 This theorem is referenced by:  atcvati  29475
 Copyright terms: Public domain W3C validator