Theorem atandmtan 24767

Description: The tangent function has range contained in the domain of the arctangent. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
atandmtan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)

Proof of Theorem atandmtan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tancl 14979	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ ℂ)
2		tanval 14978	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) = ((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴)))
3	2	oveq1d 6780	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2))
4		sincl 14976	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
5	4	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
6		coscl 14977	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
7	6	adantr 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ∈ ℂ)
8		simpr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (cos‘𝐴) ≠ 0)
9	5, 7, 8	sqdivd 13136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴) / (cos‘𝐴))↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
10	3, 9	eqtrd 2758	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) = (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)))
11	5	sqcld 13121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
12	7	sqcld 13121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
13	12	negcld 10492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -((cos‘𝐴)↑2) ∈ ℂ)
14	11, 12	subnegd 10512	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) = (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)))
15		sincossq 15026	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
16	15	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) + ((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
17	14, 16	eqtrd 2758	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) = 1)
18		ax-1ne0 10118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
19	18	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → 1 ≠ 0)
20	17, 19	eqnetrd 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) − -((cos‘𝐴)↑2)) ≠ 0)
21	11, 13, 20	subne0ad 10516	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ -((cos‘𝐴)↑2))
22	12	mulm1d 10595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (-1 · ((cos‘𝐴)↑2)) = -((cos‘𝐴)↑2))
23	21, 22	neeqtrrd 2970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((sin‘𝐴)↑2) ≠ (-1 · ((cos‘𝐴)↑2)))
24		neg1cn 11237	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → -1 ∈ ℂ)
26		sqne0 13045	. . . . . . . 8 ⊢ ((cos‘𝐴) ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
27	6, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0 ↔ (cos‘𝐴) ≠ 0))
28	27	biimpar 503	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((cos‘𝐴)↑2) ≠ 0)
29	11, 25, 12, 28	divmul3d 10948	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) = -1 ↔ ((sin‘𝐴)↑2) = (-1 · ((cos‘𝐴)↑2))))
30	29	necon3bid 2940	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) ≠ -1 ↔ ((sin‘𝐴)↑2) ≠ (-1 · ((cos‘𝐴)↑2))))
31	23, 30	mpbird 247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (((sin‘𝐴)↑2) / ((cos‘𝐴)↑2)) ≠ -1)
32	10, 31	eqnetrd 2963	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → ((tan‘𝐴)↑2) ≠ -1)
33		atandm3 24725	. 2 ⊢ ((tan‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((tan‘𝐴) ∈ ℂ ∧ ((tan‘𝐴)↑2) ≠ -1))
34	1, 32, 33	sylanbrc 701	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (cos‘𝐴) ≠ 0) → (tan‘𝐴) ∈ dom arctan)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  dom cdm 5218  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   · cmul 10054   − cmin 10379  -cneg 10380   / cdiv 10797  2c2 11183  ↑cexp 12975  sincsin 14914  cosccos 14915  tanctan 14916  arctancatan 24711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-inf2 8651  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127  ax-addf 10128  ax-mulf 10129

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-se 5178  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-isom 6010  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-sup 8464  df-inf 8465  df-oi 8531  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-3 11193  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-rp 11947  df-ico 12295  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-fl 12708  df-seq 12917  df-exp 12976  df-fac 13176  df-bc 13205  df-hash 13233  df-shft 13927  df-cj 13959  df-re 13960  df-im 13961  df-sqrt 14095  df-abs 14096  df-limsup 14322  df-clim 14339  df-rlim 14340  df-sum 14537  df-ef 14918  df-sin 14920  df-cos 14921  df-tan 14922  df-atan 24714

This theorem is referenced by:  atantan  24770