MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atancj Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atancj 24571
Description: The arctangent function distributes under conjugation. (The condition that ℜ(𝐴) ≠ 0 is necessary because the branch cuts are chosen so that the negative imaginary line "agrees with" neighboring values with negative real part, while the positive imaginary line agrees with values with positive real part. This makes atanneg 24568 true unconditionally but messes up conjugation symmetry, and it is impossible to have both in a single-valued function. The claim is true on the imaginary line between -1 and 1, though.) (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
atancj ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))

Proof of Theorem atancj
StepHypRef Expression
1 simpl 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr 477 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ≠ 0)
3 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘-i))
4 ax-icn 9955 . . . . . . . 8 i ∈ ℂ
54renegi 13870 . . . . . . 7 (ℜ‘-i) = -(ℜ‘i)
6 rei 13846 . . . . . . . 8 (ℜ‘i) = 0
76negeqi 10234 . . . . . . 7 -(ℜ‘i) = -0
8 neg0 10287 . . . . . . 7 -0 = 0
95, 7, 83eqtri 2647 . . . . . 6 (ℜ‘-i) = 0
103, 9syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = -i → (ℜ‘𝐴) = 0)
1110necon3i 2822 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ -i)
122, 11syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ -i)
13 fveq2 6158 . . . . . 6 (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = (ℜ‘i))
1413, 6syl6eq 2671 . . . . 5 (𝐴 = i → (ℜ‘𝐴) = 0)
1514necon3i 2822 . . . 4 ((ℜ‘𝐴) ≠ 0 → 𝐴 ≠ i)
162, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ≠ i)
17 atandm 24537 . . 3 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ -i ∧ 𝐴 ≠ i))
181, 12, 16, 17syl3anbrc 1244 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
19 halfcl 11217 . . . . . 6 (i ∈ ℂ → (i / 2) ∈ ℂ)
204, 19ax-mp 5 . . . . 5 (i / 2) ∈ ℂ
21 ax-1cn 9954 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
22 mulcl 9980 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
234, 1, 22sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24 subcl 10240 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
2521, 23, 24sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
26 atandm2 24538 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ dom arctan ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2718, 26sylib 208 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0 ∧ (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0))
2827simp2d 1072 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · 𝐴)) ≠ 0)
2925, 28logcld 24255 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
30 addcl 9978 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3121, 23, 30sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ)
3227simp3d 1073 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · 𝐴)) ≠ 0)
3331, 32logcld 24255 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ)
3429, 33subcld 10352 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ)
35 cjmul 13832 . . . . 5 (((i / 2) ∈ ℂ ∧ ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))) ∈ ℂ) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
3620, 34, 35sylancr 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
37 2ne0 11073 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
38 2cn 11051 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℂ
394, 38cjdivi 13881 . . . . . . . 8 (2 ≠ 0 → (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2)))
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . 7 (∗‘(i / 2)) = ((∗‘i) / (∗‘2))
41 divneg 10679 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -(i / 2) = (-i / 2))
424, 38, 37, 41mp3an 1421 . . . . . . . 8 -(i / 2) = (-i / 2)
43 cji 13849 . . . . . . . . 9 (∗‘i) = -i
44 2re 11050 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 cjre 13829 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ → (∗‘2) = 2)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∗‘2) = 2
4743, 46oveq12i 6627 . . . . . . . 8 ((∗‘i) / (∗‘2)) = (-i / 2)
4842, 47eqtr4i 2646 . . . . . . 7 -(i / 2) = ((∗‘i) / (∗‘2))
4940, 48eqtr4i 2646 . . . . . 6 (∗‘(i / 2)) = -(i / 2)
5049oveq1i 6625 . . . . 5 ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
5134cjcld 13886 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ)
52 mulneg12 10428 . . . . . 6 (((i / 2) ∈ ℂ ∧ (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) ∈ ℂ) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
5320, 51, 52sylancr 694 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-(i / 2) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
5450, 53syl5eq 2667 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(i / 2)) · (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
55 cjsub 13839 . . . . . . . . 9 (((log‘(1 − (i · 𝐴))) ∈ ℂ ∧ (log‘(1 + (i · 𝐴))) ∈ ℂ) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
5629, 33, 55syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))))
57 imsub 13825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
5821, 23, 57sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
59 reim 13799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) = (ℑ‘(i · 𝐴)))
6160oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) − (ℑ‘(i · 𝐴))))
6258, 61eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)))
63 df-neg 10229 . . . . . . . . . . . . . 14 -(ℜ‘𝐴) = (0 − (ℜ‘𝐴))
64 im1 13845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℑ‘1) = 0
6564oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴)) = (0 − (ℜ‘𝐴))
6663, 65eqtr4i 2646 . . . . . . . . . . . . 13 -(ℜ‘𝐴) = ((ℑ‘1) − (ℜ‘𝐴))
6762, 66syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) = -(ℜ‘𝐴))
68 recl 13800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
7069recnd 10028 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
7170, 2negne0d 10350 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(ℜ‘𝐴) ≠ 0)
7267, 71eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0)
73 logcj 24290 . . . . . . . . . . 11 (((1 − (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 − (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
7425, 72, 73syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))))
75 cjsub 13839 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
7621, 23, 75sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))))
77 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
78 cjre 13829 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℝ → (∗‘1) = 1)
7977, 78mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘1) = 1)
80 cjmul 13832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
814, 1, 80sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = ((∗‘i) · (∗‘𝐴)))
8243oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = (-i · (∗‘𝐴))
83 cjcl 13795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
8483adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
85 mulneg1 10426 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
864, 84, 85sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (-i · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8782, 86syl5eq 2667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘i) · (∗‘𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8881, 87eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(i · 𝐴)) = -(i · (∗‘𝐴)))
8979, 88oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) − (∗‘(i · 𝐴))) = (1 − -(i · (∗‘𝐴))))
90 mulcl 9980 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
914, 84, 90sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ)
92 subneg 10290 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9321, 91, 92sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − -(i · (∗‘𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9476, 89, 933eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 − (i · 𝐴))) = (1 + (i · (∗‘𝐴))))
9594fveq2d 6162 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
9674, 95eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) = (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))
97 imadd 13824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
9821, 23, 97sylancr 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
9960oveq2d 6631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴))))
10064oveq1i 6625 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))) = (0 + (ℑ‘(i · 𝐴)))
10199, 100syl6eqr 2673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = ((ℑ‘1) + (ℑ‘(i · 𝐴))))
10270addid2d 10197 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (0 + (ℜ‘𝐴)) = (ℜ‘𝐴))
10398, 101, 1023eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) = (ℜ‘𝐴))
104103, 2eqnetrd 2857 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0)
105 logcj 24290 . . . . . . . . . . 11 (((1 + (i · 𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(1 + (i · 𝐴))) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
10631, 104, 105syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))))
107 cjadd 13831 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · 𝐴) ∈ ℂ) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
10821, 23, 107sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))))
10979, 88oveq12d 6633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘1) + (∗‘(i · 𝐴))) = (1 + -(i · (∗‘𝐴))))
110 negsub 10289 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
11121, 91, 110sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + -(i · (∗‘𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
112108, 109, 1113eqtrd 2659 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(1 + (i · 𝐴))) = (1 − (i · (∗‘𝐴))))
113112fveq2d 6162 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(∗‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
114106, 113eqtr3d 2657 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴)))) = (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))))
11596, 114oveq12d 6633 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((∗‘(log‘(1 − (i · 𝐴)))) − (∗‘(log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
11656, 115eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
117116negeqd 10235 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))))
118 addcl 9978 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
11921, 91, 118sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
120 atandmcj 24570 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ dom arctan → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
12118, 120syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘𝐴) ∈ dom arctan)
122 atandm2 24538 . . . . . . . . . 10 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan ↔ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0 ∧ (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0))
123122simp3bi 1076 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
124121, 123syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 + (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
125119, 124logcld 24255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
126 subcl 10240 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ (i · (∗‘𝐴)) ∈ ℂ) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
12721, 91, 126sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ∈ ℂ)
128122simp2bi 1075 . . . . . . . . 9 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
129121, 128syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (1 − (i · (∗‘𝐴))) ≠ 0)
130127, 129logcld 24255 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) ∈ ℂ)
131125, 130negsubdi2d 10368 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -((log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 − (i · (∗‘𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
132117, 131eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))) = ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴))))))
133132oveq2d 6631 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → ((i / 2) · -(∗‘((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
13436, 54, 1333eqtrd 2659 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
135 atanval 24545 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
13618, 135syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘𝐴) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴))))))
137136fveq2d 6162 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (∗‘((i / 2) · ((log‘(1 − (i · 𝐴))) − (log‘(1 + (i · 𝐴)))))))
138 atanval 24545 . . . 4 ((∗‘𝐴) ∈ dom arctan → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
139121, 138syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (arctan‘(∗‘𝐴)) = ((i / 2) · ((log‘(1 − (i · (∗‘𝐴)))) − (log‘(1 + (i · (∗‘𝐴)))))))
140134, 137, 1393eqtr4d 2665 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴)))
14118, 140jca 554 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ≠ 0) → (𝐴 ∈ dom arctan ∧ (∗‘(arctan‘𝐴)) = (arctan‘(∗‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  dom cdm 5084  cfv 5857  (class class class)co 6615  cc 9894  cr 9895  0cc0 9896  1c1 9897  ici 9898   + caddc 9899   · cmul 9901  cmin 10226  -cneg 10227   / cdiv 10644  2c2 11030  ccj 13786  cre 13787  cim 13788  logclog 24239  arctancatan 24525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974  ax-addf 9975  ax-mulf 9976
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-iin 4495  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-of 6862  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-supp 7256  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-2o 7521  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-pm 7820  df-ixp 7869  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-fsupp 8236  df-fi 8277  df-sup 8308  df-inf 8309  df-oi 8375  df-card 8725  df-cda 8950  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-9 11046  df-n0 11253  df-z 11338  df-dec 11454  df-uz 11648  df-q 11749  df-rp 11793  df-xneg 11906  df-xadd 11907  df-xmul 11908  df-ioo 12137  df-ioc 12138  df-ico 12139  df-icc 12140  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-fl 12549  df-mod 12625  df-seq 12758  df-exp 12817  df-fac 13017  df-bc 13046  df-hash 13074  df-shft 13757  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-limsup 14152  df-clim 14169  df-rlim 14170  df-sum 14367  df-ef 14742  df-sin 14744  df-cos 14745  df-pi 14747  df-struct 15802  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-ress 15807  df-plusg 15894  df-mulr 15895  df-starv 15896  df-sca 15897  df-vsca 15898  df-ip 15899  df-tset 15900  df-ple 15901  df-ds 15904  df-unif 15905  df-hom 15906  df-cco 15907  df-rest 16023  df-topn 16024  df-0g 16042  df-gsum 16043  df-topgen 16044  df-pt 16045  df-prds 16048  df-xrs 16102  df-qtop 16107  df-imas 16108  df-xps 16110  df-mre 16186  df-mrc 16187  df-acs 16189  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-submnd 17276  df-mulg 17481  df-cntz 17690  df-cmn 18135  df-psmet 19678  df-xmet 19679  df-met 19680  df-bl 19681  df-mopn 19682  df-fbas 19683  df-fg 19684  df-cnfld 19687  df-top 20639  df-topon 20656  df-topsp 20677  df-bases 20690  df-cld 20763  df-ntr 20764  df-cls 20765  df-nei 20842  df-lp 20880  df-perf 20881  df-cn 20971  df-cnp 20972  df-haus 21059  df-tx 21305  df-hmeo 21498  df-fil 21590  df-fm 21682  df-flim 21683  df-flf 21684  df-xms 22065  df-ms 22066  df-tms 22067  df-cncf 22621  df-limc 23570  df-dv 23571  df-log 24241  df-atan 24528
This theorem is referenced by:  atanrecl  24572
  Copyright terms: Public domain W3C validator