Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  atanbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atanbnd 24698
 Description: The arctangent function is bounded by π / 2 on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
atanbnd (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))

Proof of Theorem atanbnd
StepHypRef Expression
1 atanre 24657 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ dom arctan)
21adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ dom arctan)
3 atanneg 24679 . . . . . 6 (𝐴 ∈ dom arctan → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
42, 3syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘-𝐴) = -(arctan‘𝐴))
5 renegcl 10382 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
7 lt0neg1 10572 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
87biimpa 500 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
96, 8elrpd 11907 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ+)
10 atanbndlem 24697 . . . . . 6 (-𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘-𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
124, 11eqeltrrd 2731 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
13 halfpire 24261 . . . . . . 7 (π / 2) ∈ ℝ
1413recni 10090 . . . . . 6 (π / 2) ∈ ℂ
1514negnegi 10389 . . . . 5 --(π / 2) = (π / 2)
1615oveq2i 6701 . . . 4 (-(π / 2)(,)--(π / 2)) = (-(π / 2)(,)(π / 2))
1712, 16syl6eleqr 2741 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2)))
18 neghalfpire 24262 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → -(π / 2) ∈ ℝ)
2013a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (π / 2) ∈ ℝ)
21 atanrecl 24683 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
2221adantr 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ ℝ)
23 iooneg 12330 . . . 4 ((-(π / 2) ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ ∧ (arctan‘𝐴) ∈ ℝ) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
2419, 20, 22, 23syl3anc 1366 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → ((arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ -(arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)--(π / 2))))
2517, 24mpbird 247 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 0) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
26 simpr 476 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
2726fveq2d 6233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = (arctan‘0))
28 atan0 24680 . . . 4 (arctan‘0) = 0
2927, 28syl6eq 2701 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) = 0)
30 0re 10078 . . . 4 0 ∈ ℝ
31 pirp 24258 . . . . . 6 π ∈ ℝ+
32 rphalfcl 11896 . . . . . 6 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) ∈ ℝ+)
33 rpgt0 11882 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ ℝ+ → 0 < (π / 2))
3431, 32, 33mp2b 10 . . . . 5 0 < (π / 2)
35 lt0neg2 10573 . . . . . 6 ((π / 2) ∈ ℝ → (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0))
3613, 35ax-mp 5 . . . . 5 (0 < (π / 2) ↔ -(π / 2) < 0)
3734, 36mpbi 220 . . . 4 -(π / 2) < 0
3818rexri 10135 . . . . 5 -(π / 2) ∈ ℝ*
3913rexri 10135 . . . . 5 (π / 2) ∈ ℝ*
40 elioo2 12254 . . . . 5 ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2))))
4138, 39, 40mp2an 708 . . . 4 (0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (0 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 0 ∧ 0 < (π / 2)))
4230, 37, 34, 41mpbir3an 1263 . . 3 0 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2))
4329, 42syl6eqel 2738 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 0) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
44 elrp 11872 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
45 atanbndlem 24697 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ+ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
4644, 45sylbir 225 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
47 lttri4 10160 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
4830, 47mpan2 707 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ∨ 𝐴 = 0 ∨ 0 < 𝐴))
4925, 43, 46, 48mpjao3dan 1435 1 (𝐴 ∈ ℝ → (arctan‘𝐴) ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∨ w3o 1053   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974  ℝ*cxr 10111   < clt 10112  -cneg 10305   / cdiv 10722  2c2 11108  ℝ+crp 11870  (,)cioo 12213  πcpi 14841  arctancatan 24636 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-tan 14846  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-atan 24639 This theorem is referenced by:  atanord  24699
 Copyright terms: Public domain W3C validator