MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  asinval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem asinval 24829
Description: Value of the arcsin function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
asinval (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))

Proof of Theorem asinval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6800 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (i · 𝑥) = (i · 𝐴))
2 oveq1 6799 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥↑2) = (𝐴↑2))
32oveq2d 6808 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (1 − (𝑥↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
43fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (√‘(1 − (𝑥↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
51, 4oveq12d 6810 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
65fveq2d 6336 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2))))) = (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2))))))
76oveq2d 6808 . 2 (𝑥 = 𝐴 → (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
8 df-asin 24812 . 2 arcsin = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (-i · (log‘((i · 𝑥) + (√‘(1 − (𝑥↑2)))))))
9 ovex 6822 . 2 (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))) ∈ V
107, 8, 9fvmpt 6424 1 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) = (-i · (log‘((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  cc 10135  1c1 10138  ici 10139   + caddc 10140   · cmul 10142  cmin 10467  -cneg 10468  2c2 11271  cexp 13066  csqrt 14180  logclog 24521  arcsincasin 24809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fv 6039  df-ov 6795  df-asin 24812
This theorem is referenced by:  asinneg  24833  efiasin  24835  asinsin  24839  asin1  24841  asinbnd  24846  areacirclem4  33828
  Copyright terms: Public domain W3C validator